Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
X ... а,
йп\ ... йпп "к
(8.2)
Справедливы следующие утверждения [8]:
1. Если все корни уравнения (8.2) имеют отрицательные вещественные
части, то нулевое решение системы (8.1) асимптотически устойчиво.
2. Если среди корней уравнения (8.2) есть хотя бы один с положительной
вещественной частью, то нулевое решение системы (8.1) неустойчиво.
32
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
(ГЛ. I
3. Если уравнение (8.2) не имеет корней с положительной вещественной
частью, но имеется часть корней с нулевой
вещественной частью, то может иметь место как устойчивость (не
асимптотическая), так и неустойчивость.
Таким образом, вопрос об устойчивости нулевого решения системы (8.1)
сводится к исследованию характера корней уравнения (8.2). Раскрывая
определитель (8.2), получим уравнение
/(Х) = Х" + а1Хл-1-Ь •• + <*" = (). (8.3)
Из коэффициентов полинома /(X) составим матрицу /ах 1 0 0 0
0 .
а3 ai 1 0 0.
' а" а4 а3 а.2 ах 1 .
В записи этой матрицы полагаем ат = 0, если т^>п. Рассмотрим определители
Aj - аи Д3 -
a, 1 а, 1 0
1 Д3 - % а,
аа йа
"8 а* а3
Д- = а_Д
Л-1"
Для того чтобы все корни уравнения (8.3) имели отрицательные вещественные
части, необходимо и достаточно выполнение неравенств
0 при k=\, 2,
п.
(8.4)
Это утверждение носит название теоремы Гурвица; доказательство теоремы
Гурвица имеется, например, в монографии [26]. Условия (8.4) часто
называют условиями Рауза- Гурвица.
Для уравнения второй степени
X2 -)- ajX -)- а3 = 0
условия Рауза-Гурвица имеют вид ^>0, или, что то же самое, aj]>0, а2]>0.
at
0
1
#2
>о,
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
33
Для уравнения третьей степени
Х3 + а,Х3 + а^ + а3 = 0 условия Рауза-Гурвица запишутся в виде
а\ > о,
>о;
а, 1 а. 1
> 0, а ,2 аз а.3 а% а.2
очевидно, эти условия эквивалентны условиям
at >0, ]> 0, a^-2 > аа.
В дальнейшем нам понадобятся некоторые простейшие сведения из линейной
алгебры.
Т1
Рассмотрим квадратичную форму v= ^ bikXiXk, где
i, k - 1
bik = bkl. Обозначая через В матрицу, составленную из коэффициентов bik,
и через х вектор с проекциями хь ... , хп, можем записать
v = (x, Вх),
где (х, Вх) означает скалярное произведение векторов х и Вх.
Если вектор х является функцией времени t, то и форма v также будет
функцией t и имеет место следующее правило дифференцирования:
г = (§. "*) + (* в%- <м>
Если матрица В не симметрична, то для векторов х и у имеет место
соотношение
(х, By) - {В*х, у), (8.6)
где В* - транспонированная матрица.
Заметим еще следующий хорошо известный факт: если матрица Т - неособая
матрица, т. е. матрица, определитель которой отличен от нуля, то матрицы
В и ТВТ(подобные матрицы) имеют одинаковые собственные числа.
Запишем систему (8.1) в матричной форме
%=Ах, (8.7)
2 Е. А. Барбашии
34
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
и найдем производную квадратичной формы v = (x, Вх) в силу этой системы.
Имеем согласно (8.5)
^ = (Ах, Вх) -f (х, В Ах).
Используя соотношение (8.6), получим
%=(х, [А*В + ВА] х). (8.8)
Потребуем теперь, чтобы форма v удовлетворяла уравнению
§ = (8.9)
где w = (x, Сх) - заданная квадратичная форма. Сравнивая (8.8) и (8.9),
получим матричное уравнение для определения матрицы В
А* В -\~ В А = С. (8.10)
Уравнение (8.10) позволяет найти матрицу формы v по заданной матрице
формы w. Исследование уравнения (8.10) представляет большой интерес, так
как это уравнение позволяет найти функцию Ляпунова в виде квадратичной
формы по заданной производной. Уравнение (8.10) ставит в соответствие
всякой матрице В матрицу С, причем это соответствие линейно. Таким
образом, в пространстве квадратичных матриц я-го порядка может быть
определен линейный оператор F (В) = А* В -j- В А. Задача о разрешимости
уравнения (8.10) сводится к задаче определения оператора, обратного
оператору F, так как B - F~XC. Так как оператор F действует в
конечномерном пространстве (л2 измерений), то для существования обратного
оператора необходимо и достаточно, чтобы среди собственных чисел
оператора F не было нулевого.
Теорема 8.1. Если корни характеристического уравнения системы (8.7)
таковы, что сумма -j- \k не обращается в нуль ни при каких г, k, то,
какова бы ни была наперед заданная квадратичная форма w, существует
единственная квадратичная форма v, удовлетворяющая уравнению (8.9).
Докажем теорему. По определению, собственным числом оператора F
называется число [х, такое, что уравнение F (В) =
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
35
= IхВ имеет в качестве решения ненулевую матрицу В. Это уравнение может
быть переписано в виде А* В -{- В А = |>.В; отсюда следует, что (А* -
[iЕ) В - - В А.
Покажем, что матрицы А* - |а? и - А имеют по крайней мере одно общее
собственное число. Если это не так, то характеристические полиномы g(X) и
f (к) этих матриц не имеют общих делителей, поэтому можно указать
полиномы gx (X), /,(Х), такие, что имеет место соотношение gjOOgO-)-}-
(X)/(X) = 1. Пусть h (X) =r gi (X) g (X). По теореме Кэли- Гамильтона
([5], стр. 74) имеем h (А* - (xf) = 0 и к (- А) = Е. С другой стороны,
