Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что перечень указанных интересных примеров может быть
значительно продолжен. Подробные библиографические указания можно найти в
докладе [18]. Существенным критерием ценности построенной функции
Ляпунова может служить требование, чтобы достаточные условия
устойчивости, вытекающие из рассмотрения полученной функции Ляпунова,
были бы в линейном случае и необходимыми условиями.
Мы не останавливаемся здесь также на интересных проблемах абсолютной
устойчивости нелинейных систем. Исчерпывающее изложение этих вопросов
читатель найдёт в монографиях А. И. Лурье [22], А. М. Летова [23], М. А.
Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [24].
Г Л А В А II
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ § 1.
Предварительные замечания. Постановка задачи
В этой главе будут рассмотрены вопросы устойчивости систем
автоматического регулирования с переменной структурой. В системах с
переменной структурой устойчивость достигается путем скачкообразного
изменения некоторых параметров системы. Характерной особенностью
протекания переходного процесса в таких системах является вхождение
системы, начиная с некоторого момента времени, в скользящий режим.
1. Прежде чем перейти к систематическому изложению материала,
остановимся кратко на некоторых основных понятиях теории автоматического
регулирования. В любой автоматической системе выделяют обычно управляемый
объект и управляющее устройство или регулятор. Назначением регулятора
является выработка управляющего сигнала, воздействующего на объект с
целью обеспечения требуемых значений показателей регулируемого процесса.
Так, например, на рис. 4 демонстрируется простейшая система регулирования
уровня жидкости в баке.
Здесь регулируемой величиной является уровень h жидкости в баке. В
зависимости от значения величины h в данный момент регулятор путем
изменения площади сечения подающей жидкость трубы устанавливает
количество жидкости х, попадающей в единицу времени в бак. По отношению к
объекту, т. е. к баку, сигнал х является входным, а сигнал h - выходным
сигналом. В данном случае выходной сигнал h поступает в управляющее
устройство с целью определения величины управляющего сигнала х. таким
образом, рассматриваемая автоматическая система обладает обратной связью.
60
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
[ГЛ. II
В принципе автоматическая система может решать следующие задачи:
1. Поддерживать выходной сигнал объекта на одном и том же постоянном
уровне (стабилизирующая автоматическая система).
2. Изменять управляемый сигнал в соответствии с заранее заданной
функцией времени (программная автоматическая система).
3. Изменять управляемый сигнал в зависимости ог неизвестного заранее
переменного задающего воздействия (следящая автоматическая система).
Рис. 4.
Автоматическая система может быть подразделена на звенья (объект,
регулятор и т. д.), каждое из которых преобразует входной (по отношению к
этому звену) сигнал х в выходной у. Математически соотношение между
входной и выходной величиной может быть задано уравнением у (t) = Ах (t),
где А - некоторый оператор, определенный в пространстве входных сигналов
х.
Чаще всего вид оператора А определяется некоторым дифференциальным
уравнением. Например, в линейном случае соотношение между y(t) и л;(0
может быть задано линейным дифференциальным уравнением
P(D)y(t)=Q(D)x(t),
где Р (D), Q (D) - полиномиальные функции D, a D - оператор
d
дифференцирования, т. е. и -
§ 1| ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 61
Если исходить из нулевых начальных условий для у ('t),
то для изображений по Лапласу функций х (t), у (t), т. е.
для
функций
СО 00
Х(р)-^ e~pt х (t) dt, У(р) = jj e~ptУ (0 dt
о о
справедливо соотношение
У(р) = Щх(р).
Функция L{p)- р обычно называется передаточной функцией звена. Очевидно,
передаточная функция полностью определяет вид дифференциального
уравнения, описывающего данное звено. Следовательно,
к
Цр)
Рис. 5.
если дополнительно учесть начальные условия для вы-ходного сигнала у (?),
то можно, зная передаточную функцию звена, полностью определить оператор
А.
Обычно автоматическую систему задают с помощью структурной схемы (блок-
схемы), причем на отдельных блоках такой схемы отмечаются соответствующие
передаточные функции. Так, например, на рис. 5 изображена структурная
схема простейшей следящей системы.
Через ip на этой схеме обозначен задающий сигнал, через ср - выходной
сигнал. Выходной сигнал ср поступает по линии обратной связи на вход
системы, где вычитается из сигнала ф. Сигнал = ф - <р поступает на
объект, передаточная функ-
ция которого равна Назначением следящей системы
в данном случае является отслеживание задающего сигнала ф, т. е. сигнал
на выходе ср должен в результате работы системы как можно менее
отличаться от сигнала ф. Таким образом, величина х должна быть возможно
меньше.
Рассматривая передаточную функцию как оператор, полу-
IS
чаем сортношение туг jc = ср; отсюда следует, что ^ \Р)
