Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
Потребуем снова, чтобы функция v имела такую же функциональную структуру,
что и функция v, т. е. потребуем, чтобы тождественно выполнялось bF[(x)y-
¦ cF'% (у) х = 0. Деля переменные, получим
сх by
"Щх) - F's (у) '
и, следовательно, каждая из этих дробей должна быть постоянной величиной,
например, равной 1/2.
ПРИМЕРЫ
29
Таким образом, получим Fi(x) = cxi и Fi(y) = byi, т. е. v - cxi-\-by'i.
Для производной v получим выражение г> = = 2acxi-\-2bdyi. Если а<^0, d<^
0, Ьс^> 0, то мы находимся в условиях применения теоремы 4.2 и положение
равновесия будет асимптотически устойчивым. Если а = О, Ь^> О, d<^ 0,
с^>0, то нулевое решение будет устойчивым в смысле Ляпунова, как это
следует из теоремы 4.1. Однако в данном случае из теоремы 5.2 следует и
асимптотическая устойчивость. В самом деле, множеством М в данном случае
служит множество _у = 0, т. е. ось Ох. Но легко видеть, что на оси Ох нет
целых траекторий системы (7.1). В самом деле, если бы такая траектория
лежала на оси Ох, то мы имели бы тождественно вдоль нее _у = 0, ij - 0 и
из второго уравнения системы (7.1) вывели бы, что дг = 0. Таким образом,
на оси Ох находится только одна целая траектория-особая точка 0(0,0).
Если Ьс 0, ad<^ 0 или а^> 0, &^>0, с^>0, d^> 0, то мы находимся в
условиях применения теоремы 6.1 и нулевое решение будет неустойчивым.
Неустойчивость будет также иметь место в силу теоремы (6.3) и в том
случае, когда а = 0, Ьс 0, d ф 0.
Заметим, что метод построения функции Ляпунова, продемонстрированный
сейчас, носит название метода деления переменных [18].
Пример 2. Рассмотрим теперь уравнение колебаний маятника
где / - момент инерции, п§ - момент силы трения, Mg/sin? - момент силы
тяжести, L - вращающий момент, М - масса, g-ускорение силы тяжести, I-
расстояние от центра массы маятника до оси вращения, tp - угол отклонения
маятника От вертикали.
Разделив на I и введя новые обозначения а = у, Ь -
Mgl ., L = -j~t N-j-, запишем уравнение в виде
/$ -f- лф 4- Mgl sin tр = /.,
(7.2)
f -(- аф -f- Ъ sin tp = N,
(7.3)
или в виде системы
с|> = ш, ш== - ? sin'f - am -j- jV.
(7.4)
30
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. 1
Очевидно, система (7.4) будет иметь положение равновесия, определяемое из
уравнений
u) = 0, -b sin <р - aw-\-N=0,
откуда следует, что положение равновесия существует, если уравнение sin
ср = Njb имеет решение <р0. Таким образом, для существования положения
равновесия необходимо выполнение неравенства \N\s^b. Вводя новую
переменную х =
- ? - ?о> сведем уравнение (7.3) к уравнению
х -\- ах -f- b (sin (х ср0) - sin <f0) == 0, (7.5)
для которого равновесным состоянием будет состояние лг = 0,
х = 0. Система, эквивалентная уравнению (7.5), имеет вид
х = у, у - - * (sin (х + сро)- sin ср0) - ау. (7.6)
Заметим, что в случае отсутствия трения уравнение (7.2) обладает первым
интегралом (интегралом энергии)
^ - -\~Mgl (1 - cos ср) - Ly = c. (7 7)
Этот первый интеграл находится при п = 0 из уравнения
(7.3) подстановкой ш = ф. Физический смысл первого интеграла состоит в
том, что он дает полную энергию маятника, причем эта энергия остается в
процессе колебаний маятника постоянной, так как рассеивания энергии не
происходит. Если же в рассматриваемой системе имеется трение (в точке
подвеса маятника, сопротивление среды и т. д.), то происходит рассеивание
энергии, и величина Е уже не будет постоянной вдоль траектории, а будет
убывать, т. е. будет вести себя как функция Ляпунова системы (7.6).
Проведя в (7.7) замену переменных лг = ср- cpQ) у - о>, рассмотрим новую
/у2
функцию: v - ~y~-j-/ft(cos<f0 - cos(jc -^ ср0) - jc sin ср0). Очевидно, v
отличается от Е на постоянную величину. В силу системы (7.6) получим v =
-lay*. Если coscp0^>0, то при достаточно малых х функция v будет
определенно положительной.
В самом деле, из формулы Тейлора следует, что
F (*) = cos <j> - cos (х -j- <р") - sin <р0 = cos (-у^+?о) xtf
$ S) ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 31
где | л;* | sg: | л: |; очевидно, при х достаточно малом знак функции F
(х) совпадает со знаком cos <р0.
Заметим далее, что v обращается в нуль только на оси Ох, таким образом,
множеством М, фигурирующим в формулировке теоремы 5.1, будет линия у -0
или отрезок этой линии. Легко видеть, что на линии у - О нет целых
траекторий, кроме особых точек, абсциссы которых удовлетворяют уравнению
sin (je-f-?o)-sincp0 = 0.
Чтобы применить теорему 5.1, следует в качестве множества взять интервал
оси Ох, заключенный между ближайшими к началу координат особыми точками.
Область, заключенная внутри линии v = c, проходящей через ближайшую
точку, будет, очевидно, обладать тем свойством, что все ее точки
притягиваются к точке (0, 0).
Очевидно, в случае cos ср0 0 точка (0, 0) является неустойчивым
положением равновесия.
§ 8. Линейные системы
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
dx I
dt
k=\
/=1,2,..., п. (8.1)
Пусть Хф ..., - корни характеристического уравнения
системы (8.1), т. е. корни уравнения
