Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно,
Fi-mag-N = 0. (1)
Поскольку величины тл и F\, входящие в это уравнение, не заданы, их нужно
выразить через известные величины:
/Пл = 6лЛ5; Fi = QBghS, (2)
где рл и qb - плотность льда и воды; h иS - толщина и площадь льдины
(объем погруженного тела равен объему вытесненной жидкости).
На кацень действует сила тяжести, равная mKg, выталкивающая сила F2 воды
и нормальная реакция опоры N (со стороны льдины). Так как камень
находится в равновесии, то
F2 + N - mKg = 0 (3)
(при записи уравнения мы учли направления действующих сил). Как и в
первом случае, силу тяжести и выталкивающую силу нужно выразить через
плотности и объемы.
mK = QKl/K; F2 QtsgVк, (4)
где тк - искомая масса камня.
Исключая из уравнений (1) - (4) неизвестные величины F{, тл, F2 и Ук,
находим:
(Св 6л) Q*hS <
т"
Qk Qb
N = (qb - бл)ghS\ N
i 3,7 кг; 19,6 H.
Пр имер 3. Прямой деревянный цилиндр плавает в воде так, что в нее
погружена га -0,9 объема цилиндра. Какая часть цилиндра будет погружена в
воду, если на воду налить слой масла, полностью закрывающий цилиндр?
Плотность масла принять равной qm = 800 кг/м3.
И_"
Утд
ш FM li
1
' ¦тд
Рис. 6.2
159
Решение. Делаем чертеж (рис. 6.2), на котором изображаем два положения
цилиндра: до и после того, как было налито масло. Обозначаем площадь
цилиндра через S, высоты частей цилиндра, находящихся в воздухе и в воде
(первый случай), ,через hi и /12, в масле и воде (второй случай) -через-
Аз и hi. В первом случае на цилиндр действуют сила тяжести, равная mg, и
выталкивающая сила со стороны воды Fи; во втором - сила тяжести, равная
mg, и выталкивающая сила со стороны воды /•2в и масла FM. (На -тела,
находящиеся частично в жидкости, частично в воздухе, действует
выталкивающая сила воздуха. В большинстве случаев ею пренебрегают, так
как она очень мала.) В обоик случаях цилиндр находится в равновесии,
поэтому
Fia - mg = 0\ F2a + Fu-mg = 0.
Учитывая, что
m = Qo {hi h2)S, FiB = Qagh2S,
F2a==QaghiS, F м = Qngh^S,
где go и gB - соответственно плотность материала цилиндра и воды,
записываем условия равновесия более подробно:
Qah2 - go(/ii + h2) = 0 (после сокращения на 5 и gy, (1) QBhiQHhz - Qo(hi
+ h2) = 0. (2)
Кроме того,
hi h2 = Аз -)- hi, ' (3)
и по условию задачи
Л 2 / а \
п. (4)
ние
h\ + /гг
Из составленной системы уравнений надо определить отноше-
(5)
Система уравнений (1) - (5) содержит шесть неизвестных
величин: все высоты, go и х. Такая система имеет определенное
решение, если требуется найти не все неизвестные, а только некоторые из
них или их отношение. Уравнения (1) - (4) позволяют сразу определить
плотность дерева:
ео==лГТ^ев = ев,г-
Второе уравнение с учетом равенства (3) можно представить после несложных
преобразований так:
hi . Лз Л
е" аГ+а7 + е" лГ+лТ ~ Qo ~ °'
160
Qb Qm
Пример 4. Полый медный шар весит в воздухе Р = 2,6 • 10"2 Н, в воде Т =
2,17 • 10~2 Н. Определите объем внутренней полости шара. Плотность меди
qm = 8,8 • 103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Решение. При взвешивании шара в воде на^него вниз действует сила тяжести,
равная по модулю весу тела Р в воздухе (так как выталкивающей^силой
воздуха можно пренебречь), вверх - сила натяжения Т нити, на которой шар
подвешен к динамометру (числещю она равна весу тела в воде), и
выталкивающая сила воды FB. Поскольку взвешиваемое тело находится в
равновесии и все силы действуют по одной прямой, то должно быть:
Выразив FB через плотность воды q8 и объем погруженной части тела, равный
объему тела Ко, получим:
Объем полости Кп равен объему всего тела Ко без объема Км, который
занимает материал тела (в нашем примере медь):
Исключая из уравнений (1) и (2) объемы тел, находим объем полости:
Пример 5. Тонкая палочка плотностью q закреплена шарнирно на одном конце
и опущена свободным концом в жидкость плотностью ео< е- Какая часть длины
палочки будет находиться в жидкости при равновесии?
Решение. Палочка шарнирно закреплена одним концом и может совершать
только вращательное движение. Следовательно, условием ее равновесия будет
равенство нулю алгебраической суммы моментов всех 'действующих сил
относительно оси, проходящей через шарнир.
Допустим, что палочка имеет длину I, при равновесии образует с
горизонталью угол айв жидкости находится ее часть длиной х (рис. 6.3).
FB + Т - Р = 0.
QegV о + Т - Р - 0.
(1
Кп = Ко - Км, или Кп = Ко --
Qm?
(2)
161
Чтобы составить уравнение моментов, изобразим сначала внешние силы,
действующие на палочку (все силы, кроме силы, действующей со стороны
шарнира, так как ее момент относительно точки О равен нулю). Со стороны
Земли на палочку действует сила тяжести, равная mg, приложенная в
середине палочки; со стороны жидкости - выталкивающая сила F, приложенная
в центре тяжести жидкости, находившейся на месте погруженной части тела,
т. е. на расстоянии х/2 от свободного конца ^палочки.
Плечо силы mg относительно точки О равно - cos а, а плечо силы
