Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
все частицы жидкости, проходящие череэ данную точку пространства, имеют
одинаковую скорость, через любое сечение потока проходит одинаковое
количество жидкости (закон постоянства потока):
Q =-у- = const. (6.3)
Если Жидкость, с плотностью q проходит через сечение S со скоростью v, то
временной расход жидкости Q через это сечение равен: '
Q = qSv. ' (6.3.')
Из формул (6.3) и (6.3') следует, что для двух произвольных сечений
потока
pSiUi = е52у2, (6.3")
где vi и V2 - модули скоростей частиц жидкости, проходящих через сечения
Si и S2.
Поток жидкости, текущей со скоростью v и падающей с высоты h, обладает
мощностью
д. Пополи Wь 4- Wp ту2 | mgh
~~ t ~~ t ~~ 2t t '
или
N = Sf+Qgh,
или
• N = q - + qSvgh. (6.4")
(6.4) ' (6.4')
154
Если в произвольном сечении установившегося потока выбрать достаточно
тонкий слой жидкости, центр тяжести которого находится на высоте h от
нулевого уровня отсчета, то вдоль всего потока должно выполняться
соотношение (закон Бернулли)
Р + Qgh +^|-= const, (6.5)
где р - внешнее давление; v - скорость движения жидкости через данное
сечение.
Сумма р +Qgh представляет статическое давление, член
V2 г-ч
Q - динамическое давление жидкости. Все вместе дает полное
давление жидкости в движущемся слое.
С энергетической точки зрения давление р есть работа, совершаемая
внешними силами над единичным объемом жидкости, произведения Qgh и qv2/2
соответственно представляют собой потенциальную и кинетическую энергию
жидкости, заключенной в этом объеме.
Согласно формуле (6.5) для двух произвольных сечений потока идеальной
жидкости
Pi + = + Qgh2 + . (6.5')
Если ui=0, h2 - 0 и pi=p2 (жидкость вытекает из малого отверстия широкого
открытого сосуда), то
v = У2gh (формула Торричелли), (6.5")
где v = v2, h = h\ - глубина, на которой находится отверстие в сосуде.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ПРИМЕРЫ
Законы гидромеханики (6.2) - (6.5) позволяют решать многие задачи как по
статике, так и по динамике жидкостей. Среди этих задач нужно прежде всего
выделить задачи на уравнение второго закона Ньютона, в которых движущимся
телчм является слой жидкости. В этих задачах приходится учитывать не
силы, действующие между телами, а производимые ими давления.
1. Правила решения задач этой группы почти такие же, как задач на
статику или динамику тела, движущегося поступательно. Различие состоит
лишь в том, что уравнения равновесна или второго закона Ньютона нужно
записывать не через силы, а через давления. Выразить левую часть
основного уравнения динамики через давление можно следующим образом.
Выбрав слой жидкости, для которого составляется уравнение, надо
представить его массу как произведение qSI, где q - плотность жидкости, S
- площадь поперечного сечения, проведенного перпендикулярно направлению
движения жидкости, I - толщина слоя. Тогда урав-
155
нение второго закона .Ньютона можно записать так:
2 F = qSla, откуда 2 р - qla.
В левой части последнего равенства стоит алгебраическая сумма давлений,
производимых на движущийся слой жидкости.
2. Задачи, связанные с нахождением давления и сил давления в какой-
либо точке внутри покоящейся жидкости, решают на основании закона Паскаля
и вытекающих из него следствий. Методика решения таких задач состоит в
следующем:
а) Необходимо сделать чертеж и отметить все равновесные уровни жидкости,
которые она занимала по условию задачи. Если даны сообщающиеся сосуды с
разнородной жидкостью, нужно отметить уровни каждой из них и указать
границы раздела. Затем следует провести поверхность нулевого уровня -
поверхность, от которой будут отсчитываться высоты столбов жидкости. Эта
поверхность должна проходить через однородную жидкость - по самой нижней
границе- раздела сред (жидкость*- жидкость, жидкость - воздух). Если по
условию задачи происходит перетекание жидкости из одной части сосуда в
другую и при этом имеются два или несколько равновесных состояний
жидкости, необходимо отметить высоты всех уровней, отсчитывая их от
поверхности нулевого уровня.
б) Указав высоты всех столбов и расстояния, на которые смещаются уровни
жидкости, можно приступать к составлению уравнения равновесия жидкости.
Для двух произвольных точек, лежащих на поверхности нулевого уровня,
должно быть
п т t
2 pi = 2 pi,
i=i ?=i
или подробнее:
pa + Q\gh\ ... Qnghn = р'о + Q\gh\ -ф-... Q'kghl
В этом уравнении po-давление на свободной поверхности верхнего слоя
(обычно атмосферное), hi, gi, h', q' и т. д.- высоты элементарных столбов
жидкостей и их плотности.
в) Если до наступления момента равновесия жидкость переливалась из одной
части сосуда в другую, то к составленному уравнению добавляют условие
несжимаемости жидкости: при уменьшении 'объема жидкости в какой-либо
части сосуда на Vi в другой части сосуда объем возрастет на такую же
величину. Если срсуды имеют форму цилиндров, то условие несжимаемости V\
= V2 можно записать так: '
Sihi = S2/12,
где Si и S 2 - площади поперечного сечения; hi и Аг-высоты столбов
