Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
95: интегралов (см. Нуалар, Закаи [2], А. В. Скороход [6]), процессов со скачками (см. Бихтелер, Жакод [9], Бисмут [11] и др.), теории обобщенных броуновских функционалов (см. Ватанабэ [27], [28]), приложений к теореме об индексе (Бисмут [12]), к оператору Шрёдингера (Ватанабэ), осцилляционным интегралам (Маллявэн [20]), и многих других результатов. Не обсуждаются вопросы гладкости условных плотностей (см. Бисмут, Мишел [13]) и др. Однако излагается красивая теория Икэды-—Ватанабэ— Кусуоки — Струка — Норриса об интегрируемости обратной матрицы Маллявэна в общих условиях Хёрмандера. Излагается также метод установления гладкости переходной плотности по начальным переменным, предложенный Струком и очень полезный в эргодических задачах.
§ 2. Стохастические производные
1. Пусть Wt, O^Zt^ZT,— винеровский процесс, H2— пространство квадратично интегрируемых, а( Wt : /^Г)-измеримых функционалов, FeH2. Тогда (см., например, Хида [7]) F представим в виде ряда из кратных (или повторных, см. Ито [17] и доказательство Крылова в [4]) интегралов Винера — Ито
оо T t/n ^k
^ = 211 ••¦ J/««1. ...,tm)dWtl...dWim^
/71=0 0 о о
со
(3.1)
HI=O
где fm — борелевские функции, Flm) (W) — обозначение т-го члена ряда, а сам ряд сходится в средне квадратичном. Определяется понятие производной Маллявэна SF:
OO
277:=2 mFW{W), (3.2)
т = \
если ряд в (3.2) сходится в среднем квадратичном. Термин «производная» здесь можно пояснить, определив семейство функционалов (/"[A,],
со
F [л]: = 2 ^mFW(W), (3.3)
т= О
см. Закаи [29]. Поскольку EFml(W)Z7tnl(W)=O при тфп, то ряд в (3.3) также сходится в средне квадратичном. Производную Маллявэна SF, оказывается, можно понимать как «настоящую» производную d.F[A,]/dA,|ji=i, точнее, имеет место
96: Лемма 3.1 (Закаи [29]). Пусть FGH2. Тогда SF определено тогда и только тогда, когда существует предел
. /••_ /-[А]
1.1.ш.-!—!-,
Mi 1—^
и этот предел совпадает с производной Маллявэна SF.
Предупреждение. Если функционал F задан в явном виде как функция от W, например, F = f(WT), то неверно, вообще говоря, что /7C^J = Z(XW7t) . В самом деле, при f(x)=x2 имеем f(XWt) =K2Wt2, в то же время, как можно показать,
т
F[),} = 2 \(kWs)d(bWs)+T = WWlj.-\-T (\ _Я2), о"
Свойства производной Маллявэна содержатся в следующей лемме.
Лемма 3.2. (Закаи [29]). Пусть F, F\, F2GH2, и определены выражения SF, SFu SF2. Тогда:
(а) E(SF)=O,
(б) E(FiSF2) = E(F2SFi) —самосопряженность,
(в) E(FSF)^O — неотрицательность,
(г) S обратим с точностью до постояннной EF,
(д) существует самосопряженный оператор (S)1/2:
со
(Sf2F: = 2 Vm (Ю,
Ш = 1
(е) S — замкнутый оператор.
В некоторых работах производная Маллявэна S определяется с точностью до знака или постоянного множителя.
2. Следующее очень важное понятие — производная по направлению. Пусть Wt, О^І^Т, — винеровский процесс на вероятностном пространстве (й, 3", Р), ut, О^С/^Т, — (&~Y ) — согласованный, квадратично интегрируемый процесс на (й, 9", Р). (Здесь можно, вообще говоря, не требовать квадратичной интегрируемости, и даже SFj -согласованности, но об этом будет вкратце сказано ниже.) Определим семейство функционалов (F'-u, є^О):
F^-.^F^IW + e j и,</Д (3.4)
m=О V 0 /
Это определение понимается в следующем смысле. Процесс
t
Wt-{- є § usds в силу теоремы Гирсанора является винеровским о
относительно новой меры dPe,u=pe>udP, где рє,ц мартшгальная 7—7927 97 экспонента:
(Т T \
о о /
Поэтому на (Q, ^r, Рє'и) квадратично интегрируемый функционал Ft'" корректно определен. Отсюда следует, что Fe'" можно рассматривать, например, как интегрируемый функционал на (й, У, Р), если Е(ре'")2< с©, а в общем случае можно рассмотреть последовательность F%U^(FS,U AN)\/( — N), TV = 1, 2, ..., где Fn11QH2 и Fn" при Nоо сходится поточечно к Fs'". Вводится понятие производной по направлению
(3.5)
если эта производная существует (например) в среднеквадра тичном.
Далее, пусть (A^1 0< s <t)°°=l — ортонормированный базис в Z2 [О, T] из неслучайных функций. Определим квадратичную форму
оо
(S)F, SF): = ^i(S)n, F?, FQH2, (3.6)
в предположении, что ряд в (3.6) сходится в Li. Можно доказать (Закаи [29]), что сумма ряда в (3.6) не зависит от выбора базиса (А')?!, при следующем дополнительном предположении
E(S)aFf<KE) u\ds (K = KF>0), (3.7)
'о
для любого FGH2 и любого и, для которого определена производная SU-F; здесь K = Kf не зависит от и.
По квадратичной форме (SF, SbF) обычным образом определяется билинейная форма (S)Fь SF2):
(S)Fu S)F2) = \((S)(Fx+F2), S(F1^F2))-
-(S)(F1-F2), S(F1-F2))
или
OO
(S>F„ S)F2)=%(S>hiF^)(S)hiF2), Fu F2QH2.
і = і
Замечание. Пусть FQH2-таково, что определена величина (3)F, SF) и выполнено неравенство (3.7). Обозначим Xi: —S>h 1F.
со T оо 2
Тогда E ^iX2i=E (S)F, S>F)< оо , и, значит, E j 2 =
1-І Oi=I
98: = E 2 < 00 • Стало быть, определена .случайная функция
;=і
оо т
Ut ¦ = 2 Xih\, и E J I И; I2dt < оо. Можно доказать (Закаи [29]), ;=i о
