Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
что распределение на С [О, Г], порожденное процессом Wt + t
+ є § usds, О абсолютно непрерывно относительно вине-
о
ровской меры, поэтому определены функционалы Р'и, и, оказывается, определена производная SDuF, хотя процесс ut, вообще говоря, не является согласованным. Условие (3.7) предполагается выполненным для всех процессов и, для которых определена величина SDuF, в том числе и для несогласованных. С помощью условия (3.7) доказывается справедливость равенств
со
= = f = (3.8)
i=i s v'
2=1
T =O
(Закаи [29]). В силу (3.8) находим [ | щ fdt = >] %]=(SDF, SDF)=
о і = 1
= SD-F, и, стало быть, (3.8) можно переписать в виде
(S)-Ff (SDF, SDF)= V '
[ ~u\dt
О
или, полагая ut \ =щІ\\и\\іг\о,т\, получаем
(SDF, SDF) = (S)-F)2. (3.9)
Таким образом, величина (SDF, SDF) при условии (3.7) предста-вима в виде квадрата производной F по некоторому случайному
направлению и. С другой стороны (Закаи [29]), для любого про-
т
цесса ut (не обязательно согласованного) с E f u2ds < оо и
о
такого, что при всех єЄ[0, єо] (єо>0) распределение Wt+
T
+є ) usds в C[0, T] абсолютно непрерывно относительно вине-
O
ровской меры, и определена величина SDuF. Обозначим класс
таких процессов через IW(Zr). Справедливы соотношения (pi: = т
= : J ushsld s
SDuF = F = 2 2> hiF = 2 PlSDhlF. (3.10) і 1 i=l ' i=l
7* 99 Эти равенства устанавливаются теми же рассуждениями, что и (3.8). В силу (3.10) и неравенства Коши — Буняковского получаем
I ®uF I2 <(2 Р?) = SDP)\ ups.
Стало быть,
(S)F, SF )> {faFf .
!' ^ds О
Таким образом, справедлива следующая
Тео-ре<ма 3.1 (Закаи [29]). Пусть FqH2, и выполнено условие (3.7). Тогда
(SF, SF)= sup (S)uF)2. те С)
Другими словами, величина (SF, SF) является как бы квадратом градиента F по случайным направлениям.
§ 3. Правила исчисления Маллявэна
1. Основные правила исчисления Маллявэна следующие:
S (FiF2) =FlSF2+F2SFi-2(SFu SF2), (3.11)
Sq(F) = ц'(F)SF-у" (F) (SF, SF), (3.12)
где F, Fi, F2GH2, фбC62. Необходимо, однако, точнее определить область применимости этих равенств. Для этого, следуя Закаи, введем следующие определения. Пусть ty : Еп-*-Е\ фбС3(?п), и функция г|) вместе со всеми производными до третьего порядка включительно растет не быстрее некоторой степени от модуля аргумента. Назовем простыми функционалы вида
F = ^(Wtl, ...,WtJ, 0<tt<T, \<i<n.
Обозначим Kp = {F : YFnGH2, F,г — простые, и IIf-FniLp + + 11 (SFn, SFn)- (SF, SF)\\Lp+\\SFn-SF\\Lp^0, п-+ оо. Все простые функционалы принадлежат QKp (Закаи [29]), и кратные
Р> 2
винеровские интегралы любого порядка также принадлежат П Kp
р> 2
(Шигекава [24]).
Теорема 3.2 (см. Закаи [29], предложение 1.4.1.). Пусть Fu F2GKp, Тогда FiF2GKvt2 и справедливо равенство (3.11).
100: Доказательство. Если F1, F9-простые, F1 = i|)(W,-,, . .. ¦ F2 = 4(Wtn ...,Wtn), то
(S)Fu SF2)=
оо / п tI \ / П tJ \
= 2 2 f hSds^l (Wt1,..., wtn) 2 f Kdsy'j (Wtl,..., Wtri) =
k = \ \/ = 1 О /Vy = IO /
=.2 (|j(1^)(1^)^^-'^w'- --wIn)' Поскольку
T OO
min(f„ <;)= \eti(s)et.(s)ds = ^(eti,hk\etj, hk), Ь ?=1
где et(s)= I (s<.t), то отсюда получаем
(SFu SF2) =
п
= 2 rnmVtJ^^W,,, .. .,Wtn)q>\(Wtl, .. .,Wtn). (3.13)
і, 7-і
Далее, установим равенство
Tl
ZMWtl, ..., Wtn)= 2 КЗД (И^.. • • •. wtn)~
і-1
п
- 2 min(^., 0)^.(^/,, (3.14)
Для этой цели удобно воспользоваться другим определением производной Маллявэна i?/7, FGH2, эквивалентным исходному. Пусть W7b — не зависимый от W экземпляр винеров-
ского процесса. Определим функционалы
оо
F8: — 2 F^iVi^eW + VeW), 0<е<1.
т=0
Это определение корректно, поскольку процесс V, := V^l—Є W^i-f-+ V^eWi-также винеровский. Тогда, в силу равенства /т'т І,
Ejj ... j fm(tu ...,tm)dvtl...dvtJ^) =
>,0 о о
T 'т t2
= (1 -6)-/2 j j ... 5 fm(tu . .., tm)dWt, ... dwtm,
oo b
101: находим
F — E(Z-HS^T)
l.i.m -:-(3.15)
e jo e 2
Предел в левой части (3.15) для простых функционалов вычисляется при помощи формулы Ито и приводит к формуле (3.14). Аналогичное равенство справедливо и для f2, а для произведения fif2 формула (3.14) дает
я
..-,^)=2^(^(^..
;=]
я
- 2 min^b0)(^):y.)(W/,„ ...,wtn). (3.16)
M=I
Из равенств (3.13), (3.16), (3.14) и аналогичного равенства для <р следует искомое соотношение (3.11) для простых функционалов. Общий случай получается переходом к пределу с помощью свойства замкнутости оператора s. Теорема 3.2 доказана. Аналогичным образом доказывается
Теорема 3.3 (Закаи). Пусть fgkp, р^ 4, <p gcb2 [e1). Тогда <р(F)GKp и справедливо равенство (3.12).
§ 4. Гладкость плотности (схема доказательства)
1. Теорема 3.4. Пусть fgh2, a : =(s)f, sdf), и существуют величины sf, а, sa, (sda, sda), причем (sda, sda)gl2, и а-7^=0 п.н. Тогда распределение f абсолютно непрерывно относительно меры Лебега.
Схема доказательства (Закаи [29]). Из теории преобразования Фурье вытекает, что оценка
|ЕФ'(|)| < С Il Ф ||с V96C-(^1)j (3.17)
