Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
92: нию ограниченности aaf, \ba\E и неравенству т т
а О О
Решение задачи (2.16), (2.17) понимается в смысле интегрального тождества (2.14), для У-решения оно имеет место при почти всех (t, со), для Я-решения— при каждом t п. н.
Лемма 2.2. Пусть при всех х, r\GEd, tG[О, Г] справедливо неравенство
d
2 2 atj(t, x)r\'i\J-
^bt(t, xW >є|тір, (2Л8)
IQ
где є>0 — постоянная, а^=аац, bi = ba, если а — /'-й, a ? — j-й координатные векторы. Тогда выполнено алгебраическое условие сильной параболичности (2.15).
Из этой леммы и результатов предыдущих разделов вытекает
Теорема 2.11. Пусть выполнено условие (2.18). Тогда существует функция u(t, со), определенная на [О, Г]ХЙ со значениями в L2(Ed), сильно непрерывная по t в L2(Ed), (^"^-согласованная и такая, что:
а) uGW2l(Ed) п. в. (t, со),
б) для всякого л'07\(Ed)
t
(u(t\ Tl)0 = (м0, Ti)o + j(-l)a(№(s), аир0«)оdS+
о
с С (2.19)
+ j (-l)e(/«(s), 3>*)0ds+ J(&a(s)®Ba(s) +
b b
при всех /б[0, Г] сразу п. н.
Теоремы 2.8 и 2.9 позволяют доказать теоремы о единственности и о марковском свойстве функции и из теоремы 2.11. Справедлив также результат об устойчивости решения по начальным данным.
В теории фильтрации (см. Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский [9]) важен вопрос о повышении гладкости решения задачи типа (2.16), (2.17). (Скалярное произведение (-,-)0 в уравнениях фильтрации заменяется на (-,Om — скалярное произведение в W2^(Ed).)
Далее предполагается, что пС^0 — целое число, z(t) — квадратично интегрируемый мартингал со значениями в W2m(Ed), непрерывный по t в W2m(Ei) при всех t, со, функции (ba) имеют т производных (соответственно, слабых производных) по X, непрерывных (соответственно, слабо непрерывных) ПО X,
93: ограниченных (соответственно, ограниченных по норме Е) равномерно по t, х, со. Пусть g=О (это не умаляет общности) и при всех (t, co) функции JraQWl1(Ed), UftQW^(Ed), и
T
о
Теорема 2.12. Пусть выполнено (2.18) и все предположения из предыдущего абзаца. Тогда существует такое множество что P(S7) = I1 и пРи функция u(t) из теоремы 2.11
принадлежит W2 (Ed) и непрерывна по t в норме W2 (Ed). Кроме того,
uQW"1+x (Ed) п. в. (t, со), и
т
E suP !Iи 11ш,9 + е[ Il «(s)||2n+1 2ds < оо.
t<T о
Доказательство см. Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский [8], Б. Л. Розовский [11], а также, по поводу более общей задачи, Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский [9].
ЛИТЕРАТУРА
1. Анулова С. В. О процессах с производящим оператором Леви в полупространстве // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1978,— 42, Л» 4,— С. 708— 750
2. Алюишна Л. А., Крылов Н. В. О предельном переходе в стохастических уравнениях Ито // Теория вероятностей и ее примен.— 1988. — 33, № 1. — С. 3—13.
3. Баклан В. В. Проіснувания роз'язків стохастичных рівнянь у гільберто-вому просторі // Доповіді АН УРСР,— 1963. № 10,— С. 1299—1303.
4. — Уравнения в вариационных производных и марковские процессы // Докл. АН СССР,— 1964,— 159, № 4,— С. 707—710
5. Buuiuk Al И. Квазилинейные сильно-эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму // Тр. Моск. мат. об-ва,— 1963,— 233, № 5,—С. 769—772
6. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения // Успехи мат. наук.— 1967.— 22, № 4 — С. 3—54
7. Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория.— M.: изд-во. И. Л. 1962,— 896 с.
8. Крылов Н. В., Розовский Б. Л. Об эволюционных стохастических уравнениях // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем.— ВИНИТИ, 1979. 14.— С. 71 — 146
9. —, — О задаче Коши для линейных стохастических дифференциальных уравнений с частными производными // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1977,— 41, № 6,— С. 1329—1347
10. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.— M.: Наука, 1969.— 480 с.
11. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы.— M.: Наука, 1983,— 208 с.
12. Gyongy I., Krylov N. V. On stochastic equations with respect to semimar-tingales. I. // Stochastics.— 1980,— 4,— C. 1—21
13. —, — On stochastic equations with respect to semimartingales. II. // Stochastics.— 1981,— 8.- C. 1—12
94: 14. Metivier M., Viot M. On weak solutions of stochastic partial differential equations // Stochastic Anal. Proc. Japan—Fr. Semin. Paris / France.— 1987. Lect. Notes Math. 1988,— 1322.— C. 139—150
15. Pardoux E. Equations aux derivees partielles stochastiques non lineaires
monotones. Etude de solutions fortes de type Ito // These Univ. de Paris Sud.- 1975
16. Viot M. Solutions faibles d'equations aux derivees partielles non lineaires // These Univ. Pierre et Marie Curie: Paris. 1976
III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИИ (ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛЯВЭНА). ПРИМЕНЕНИЯ К СТОХАСТИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
§ 1. Введение
Стохастическое исчисление вариаций или исчисление Маллявэна в настоящее время — мощное орудие в разнообразных задачах асимптотического анализа, в теоретической физике, эр-годической теории и др. Первоначально оно возникло как вероятностный подход к задачам гипоэллиптичности в теории уравнений в частных производных. Гипоэллиптичность дифференциального оператора L означает Cfoc — гладкость любой функции и, если LuGCfof.. Гипоэллиптичность дифференциальных операторов второго порядка исследовалась в работах Хёр-мандера [16], О. А. Олейник и Е. В. Радкевича [5]. Оказалось, что гипоэллиптичность таких операторов может иметь место и при вырождении диффузии, если выполнены условия Хёрман-дера на скобки Ли векторных полей, образующих матрицу диффузии. Малявэн [19], [20] предложил подход для изучения гладкости плотности решения стохастического дифференциального уравнения, не опирающийся на уравнения в частных производных, и также приводящий к условиям типа Хёрмандера. Этот подход позволяет изучать гораздо более общие задачи о гладкости распределения функционалов от винеровского процесса, процессов со скачками, с последействием, и т. д. Были предложены различные трактовки идеи Маллявэна, основанные из них — интерпретации Струка [25], Висмута [10], и Закаи [29] (мы не претендуем на классификацию этих и других интерпретаций: см. также Шигекава [24], Ватанабэ [27], [28], Белл [8] и др.; сам Закаи свое изложение называет вариантом изложения Струка, и т. п.). В настоящей главе излагается введение в исчисление Маллявэна, в основном основанное на работе Закаи [29], посвященной сравнению вариантов Струка и Висмута. Изложение ориентировано на приложения к решениям стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), и не содержит многих важных аспектов теории. Так мы не касаемся теории расширенных стохастических
