Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
влечет наличие плотности распределения р случайной величины I в классе L2(Et) (см., например, Закаи [29]). Имеем
(®y(F), ®F)=y'(F)A,
откуда
(Ы ( F\ - 1 (/?ф (/?)) + Ф {F) SF + jpgtP (/?) Ф (Г)— 2 А
Отсюда
21 EqZ(Tv) I = I Еф (F) (—FSA->+A~>SF+S (FA~>))
^2\\y\\cE(\A-'SF\ + \(2)F, SDA-i)\). (3 18)
Если здесь математическое ожидание в правой части конечно, то получаем оценку (3.17), которая влечет абсолютную непрерывность. Если же правая часть (3.18) бесконечна, то с помощью подходящих аппроксимаций (см. Закаи [29]) можно
102: Ує>0 установить похожую оценку
|Еф'(^)Л(Л+е)-Ч<Се||ф||с,
и хотя Ce может расти при е|0, тем не менее, из этой оценки следует абсолютная непрерывность мер
ve(•) : =EI (FG ¦ )А (Л+е)
и при є|0, в силу монотонной сходимости, получаем искомую абсолютную непрерывность распределения F.
T
Пример (Закаи [29]). Пусть F: = f WSWT-Sds. Тогда
о
SDuF= f WT-s({urdr\ds+ f WJ f urdr\ds =
о \о J Ь [о J
T /Т-s \ T /Т-s \
= 2 J Л \ urdr \ds = 2 f usI j Wrdr\ds.
о \ о J о \o J
Отсюда в силу неравенства Коши — Буняковск'ого
(SDuFf <4 (j ^dsj (j J W^ys,
и при этом
(S)uFf _ Т
5 J W,dr\ds
SUp т
" С Uzsds 0 \ 0
о
^sup достигается на ut:= j W rdr^. Значит, в силу теоремы 3.1
t (t-S \
(SDF1S)F) = 4j ( j Wrdr\ds,
и искомая абсолютная непрерывность следует из теоремы 3.4.
Замечание. Хотя до сих пор рассматривается одномерный случай, те же методы и рассуждения позволяют изучать плотность распределения вектора F=(F\ ..., Fn), FiGH2. При этом A = (S)F, SF)—матрица размера пХ", называемая матрицей Маллявэна. Для того, чтобы плотность распределения р величины F не просто существовала, а была бы гладкой, pGC^t достаточно (см. Бисмут [10], Ватанабэ, Икэда [1]) выполнения неравенств
I Еф(п)(F) I^Сп||ф||с, п= 1,2,... (3.19)
с некоторыми постоянными Cn, УфбС~. Здесь ф(п> обозначает частную производную порядка п вдоль произвольно выбранного
103: направления. Та же идея, которая использовалась в теореме 3.4, позволяет установить следующий важный результат (см. Ватанабэ, Икэда [1]).
Теорема 3.5 (Маллявэн). Пусть F= (Fi, ..., F")GH, матрица A = (SDF, SDF) определена и Е||Л-1 ||р<оо Тогда распределение вектора F имеет плотность pGCf(En).
§ 5. Подход Висмута. 1.
1. Пусть W= (W\...,Wm), F=(F\...,Fd)*eH2. В подходе Закаи, а также Струка и самого Маллявэна важнейшую роль — при получении оценок типа (3.17) или (3.19) — играет равенство EfxSF2=EF2SFi, которое позволяет перебрасывать оператор дифференцирования с одного функционала на другой. Другими словами, это некая формула интегрирования по частям. В подходе Висмута также важнейшую роль играет следующая формула интегрирования по частям:
T
ESDuF = EF f usdWs. (3.20)
6
Здесь предполагаем матричный йУ^т процесс Ut ^"^-согласованным, и UGH2. Равенство (3.20) полезно и несложно проверить прямым вычислением для функционала вида
T 'т t2
F=S S ••• ¦••' tm)dWu...dWtm
0 0 о
и для неслучайной функции и. В общем случае доказательство (3,20) основано на формуле Гирсанова. Идея такова. Пусть и = (у1, ..., Ud)*, где каждое U1r-вектор-строка размера IXm1
\ ( Т Fe'"': = 2 F{m) [W + e\ usds ), р'(е): =ехр -є f u'sdWs -m=. 0 \ Ь J \ 0
^ |«i|2fl?sj. Тогда, в силу теоремы Гирсанова, имеет место
Si
о
равенство
EF = EFe-aiQi (є). (3.21)
Формальное дифференцирование (3.21) в точке е==0 приводит к (3.20). Для строгого рассмотрения достаточно потребовать дополнительно условия
E ехр с Il Us H2 ds < оо (3.22)
о
для некоторого с > 0 (Закаи [29]).
104 2. Пусть G = (G,;)f_y.=1t^2 —некоторый вспомргательный матрич ный функционал, ФбСГ- Тогда из (3.20) следует т
Е(?ф (F) j usdWs = ESa (Сф (F)) = ЕФ (F)SuG + ЕФ' (F) GSuF,
о
откуда, полагая G: =(SuF)-1, получаем
IЕФ'(F) |<Il Ф ||с E \\Sa(SaFp\ +
т
(SaFp usdW,
о
. (3.23)
Эта оценка, подобно оценке (3.18) в подходе Закаи, позволяет получить оценки вида (3.17) и установить следующие результаты, сравнимые с теоремами 3.4 и 3.5.
Теорема 3.6 (см. Закаи [29]). Пусть F= (Fi, ..., Fn)*GH2, UtGH2 — ^^-согласованный процесс, при некотором с>0 выполнена оценка (3.22). Пусть определены величины SuF, Su(SuF), и SUF>0 (матрица SuF положительно определена) п. н. Тогда распределение F имеет плотность р относительно меры Лебега.
Теорема 3.7 (Бисмут). Пусть выполнены условия теоремы 3.6, и Ell (SuF)¦"MlP<оо Vp>l. Тогда pGCb°°(En).
По поводу сравнения подходов Закаи (Струка) и Висмута см. Закаи [29].
Сама идея подобного использования гирсановской замены меры предложена Хаусманом [15] в другой задаче — задаче о представлении мартингала.
§ 6. Подход Висмута. 2. Стохастические дифференциальные
уравнения
1. Рассмотрим d-мерное СДУ
т
dxt = X0(X1) dt+ ^ X,(XfcdW1t, х0 = х, (3.24)
/=і
или
dxt=X0(xt)dt+X(xt)°dWt, X0 = X, (3.25)
где Хо(-), ..., Xm(•)—векторные поля класса C^(Ed) Х(-) = = (*,(¦),..., *»(¦)), ..... №m)* — m-мерный вине-
ровский процесс, причем функции X0, ..., Xm и любая их производная по X ограничена; здесь Xi°dWl означает стохастический дифференциал Стратоновича. Эквивалентная запись (3.24) и (3.25) в форме Ито:
