Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Различные попытки аксиоматического изложения теории вероятностей предпринимались многими авторами: С. Боль-ман ([22], 1908 г.), С. Н. Бернштейн ([1], 1917 г.), Р. фон Мизес ([51], 1919 г.; 1928 г.), А. Ломницкий ([47], 1923). В 1929 году в работе [16] и в окончательной форме в 1933 г. в [17] А. Н. Колмогоров под влиянием общих идей теории множеств, теории меры и интегрирования, а также-метрической теории функций сформулировал понятие вероятностной модели, или систему аксиом (с логической точки зрения не являющейся, вообще говоря, единственно возможной) „ оказавшейся при этом простой и в то же самое время столь общей, что позволила охватить не только классические разделы теории вероятностей, но и открыть путь к развитию её новых глав, в частности, теории случайных процессов.
В основе системы аксиом Колмогорова лежит понятие вероятностного пространства
(Q, 3~, Р),
состоящего из трех объектов, где й = {со} — пространство элементарных событий (исходов); Sr — совокупность подмножеств A^?, интерпретируемых как события, образующих о-алгебру; P—¦ счетно-аддитивная неотрицательная и нормированная
со со
функция множеств, P = P(Л) (Р(ЕЛІ = ЕР(АІ), если к
Л,ПА;=0, i?=j, 0<Р(-)<1, P(Q) = I), называемая вероятностью события Л.
2. В основе рассматриваемого в настоящей главе стохастического исчисления (случайных процессов) лежит понятие стохастического базиса — спецификации вероятностного пространства (Q, Sr, Р) заданием на нем неубывающего потока о-алгебр (фильтрации) F=(^ri)fsi0, SF ^SF t^5F, s^/, где Srt интерпретируется как сг-алгебра событий, «наблюдаемых» на временном интервале [0, ґ].
Определение. Стохастический базис
J?=(Q, (Г, F=(^),>0, Р)
есть вероятностное пространство (?2, Sr, Р), наделенное фильтрацией F=(Sft)^o-неубывающим семейством сг-алгебр, C^CSr, являющимся непрерывным справа, т. е. ^ri = где ^rt+ = П ^rs- Стохастический базис называется полным, или удовах
летворяющим обычным условиям, если о'-алгсбра пополнена множествами Р-меры нуль и каждая t содержит множества из Sr с Р-мерой нуль.
8*
115 Наличие фильтрации (или потока ст-алгебр) F=(^)fss0 дает возможность ввести ряд новых понятий, специфических объектов, которые составили фундамент стохастического исчисления. К их числу относятся: марковские моменты, согласованные (адаптированные) процессы, опциональные и предсказуемые о-алгебры, мартингалы и локальные мартингалы, семимартингалы и др.
§ 2. Моменты остановки, согласованные случайные процессы, опциональная и предсказуемая о-алгебры. Классификация моментов остановки
1. Пусть Jf= (Q, 3", F, Р) —стохастический базис.
Определение 1. Марковским моментом, или моментом остановки называется отображение т : Q->-R+ такое, что при каждом t6R+
{со
С каждым моментом остановки связываются две о-алгебры: Srt = IAe^r такие что tGR+),
8tx_ = a{st0, АП{/<т}, где tgr+ и agstt).
Если т=/, то &~x=5Tt и STx-=STt-, где
о, если / = O ^t- = \Vесли /6(0, оо ]
Ijo1
Если т— момент остановки, то
1) т+/ — момент остановки, tGR+\
2) STI-^SFx и т —^,--измеримо;
3) если agffrx, то
. . / т (со), соеА хА (и) = I j: Q0 ^?^ — марковским момент.
Предположение о непрерывности справа семейства F приводит к следующему утверждению: т=т(со) — марковский момент в том и только том случае, когда {т<t}G@~t для каждого i6R+.
Если (т„)—последовательность моментов остановки, то .O=Inftn и T=Suptn — также моменты остановки и
Sr^Srn-
С любыми двумя моментами остановки ст и т связываются стохастические интервалы:
[o,t]={(®, t) : tGR+, a((o)</<t(®)}, [о, хт[={(ш, /) : *є#+,0(ю)<*<т(<»)}, ]a,tj= {(«,/) : tGR+, о (со) CZ=SJt (ю)}, ](T,t[ = {((o, t) : /6#+,o(co)</<t((u)}.
116: Множество [т]=[т, т] называется графиком момента остановки т.
Определение 2. Случайный процесс — это семейство X = (Xt(w))tQRi. отображений й в множество R (если вместо R берется некоторое множество Е, то говорят, что X есть ?-знач-ный случайный процесс). Для фиксированного соШ отображение t->-Xt(iо) называется траекторией, или выборочной функцией процесса X. Случайный процесс X, заданный на стохастическом базисе 38= (й, Sr, F, Р) называется согласованным (F-согласованным), или адаптированным (F-адаптированным), если Xt являются ^"(-измеримыми при каждом t^O.
Примеры марковских моментов:
a) Пусть X—(Xt (w))<g/?+ —непрерывный справа согласованный случайный процесс и В— открытое множество в R. Тогда
t=inf(f: XtGB)
является марковским моментом.
b) Если X — адаптированный непрерывный справа процесс с неубывающими траекториями и a?R, то момент
t=inf (/ : Xt^a)
является марковским.
2. В общей теории случайных процессов важную роль играют опциональные и предсказуемые а-алгебры подмножеств пространства QX#+ = {(®, 0 •' t^R+}-
Определение 3. Опциональная о-алгебра O подмножеств QYR+ есть сг-алгебра, порожденная всеми согласованными процессами Y= Y(t, со), t4R+, собй, рассматриваемыми как отображения Y: (со, t)^-R, траектории которых принадлежат пространству D (непрерывных справа и имеющих пределы слева функций).
