Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
53. —, — On the support of diffusion processes with applications to the strong maximum principle // Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Probab. Ill — Berkeley: Univ. California Press, 1972,— C. 333—369
54. —, — On degenerate elliptic-parabolic operators of second order and their associated diffusions // Commun. Pure and Appl. Math.— 1972. XXV.— C. 651—714
55. Sussman H. ]. Gap between deterministic and stochastic ordinary differential equations // Ann. probab.— 1978.— 6, № 1.— C. 19—41
56. Tanaka H. Stochastic differential equations with reflecting boundary conditions in convex regions // Hiroshima Math. J.— 1979.— 9, № i,— C. 163—179
57. Yamada T. On a comparison theorem for solutions of stochastic differential equations and its applications // J. Math. Kyoto Univ.— 1973.— 13, № 3._ c. 497—512
58. —, Watanabe S. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations, I, II // J. Math. Kyoto Univ.— 1971,— 11, № 1.— C. 155—167; ibid.— 1971,— 11, № 3,— С. 553 —563
79: II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Введение
1. В первые десятилетия развития теории стохастических дифференциальных уравнений Ито исследования в этой области сосредоточивались на конечномерных уравнениях с ограниченными (или локально ограниченными) коэффициентами. Однако, со временем появилась потребность существенно расширить класс изучаемых стохастических дифференциальных уравнений. В теории фильтрации диффузионных процессов, а также в целом ряде областей физики и техники появились стохастические уравнения с частными производными, которые, как правило, можно трактовать как стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовом или банаховом пространстве, притом с неограниченными коэффициентами. В настоящее время теория таких уравнений создана и успешно развивается, хотя и число неисследованных задач велико.
В данном разделе дается введение в теорию стохастических эволюционных уравнений в банаховом пространстве вида du (t, со) =A (и (/, со), t, а) dt+В [и (t, со), t, со) d\V(t), (2.1) где A(-,t, и) и B(-,t,(u)—семейства неупреждающих операторов в банаховых пространствах, W(і)—процесс с независимыми приращениями и со значениями в некотором гильбертовом пространстве, со — «случай».
Стохастические эволюционные уравнения (2.1) с ограниченными операторами В впервые рассмотрели Ю. Л. Далецкий [6] и В. В. Баклан [3], [4]. Краткий обзор работ в данной области до 1979 г. см. в обзоре Н. В. Крылова, Б. Л. Розовского [8], где обобщаются предшествующие результаты Парду [15]. Настоящее изложение следует, в основном, работам Н. В. Крылова и Б. Л. Розовского [8], Б. Л. Розовского [11].
2. Надо отметить, что, несмотря на существенное усложнение ситуации по сравнению с конечномерными «обыкновенными» стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ), многие основные идеи и методы продолжают работать и в банаховых пространствах, разумеется, с соответствующими модификациями. К ним относится, например, метод последовательных приближений. Важную роль в излагаемой теории играют условия монотонности и коэрцитивности и методы теории монотонных операторов.
По поводу сходимости дискретизованных уравнений в банаховых пространствах см. работу Л. А. Алюшиной и Н. В. Крылова [2]. Об уравнениях в банаховом пространстве по семимартингалам, связанным с задачами фильтрации, см. работы Дьендя и Н. В. Крылова [12], [13].
80: § 2. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах
1. Пусть (S, 2, |х) •—полное измеримое пространство с мерой, (X,S6)—банахово пространство с борелевской а-алгеб-рой, X* — пространство, сопряженное к X.
Определение 1. Отображение х : S^-X называется измеримым, если для всякого Гбі^ {s :x(s)er}62.
Отображение X: S^>~X называется слабо измеримым, если для всякого .V i:i А":: отображение хх* : S-^E1 измеримо.
Отображение X: S^-X называется сильно измеримым, если существует последовательность простых измеримых отображений, сходящаяся к х р-почти наверное.
Если А' сепарабельно, то сильная измеримость эквивалентна измеримости.
Теорема 2.1 (Петтис; см., например, [7]). Отображение X: S^-X сильно измеримо тогда и только тогда, когда оно слабо измеримо и существует такое множество ?62, что |x(?)=0 и множество {y:y=x(s), sGS\B} сепарабельно.
В частности, если S сепарабельно, то сильная измеримость эквивалентна слабой измеримости.
Пусть (Q, , Р)—вероятностное пространство с расширяющейся системой а-алгебр t^O.
Определение 2. Случайной величиной в X называется измеримое отображение (О, Р) в X.
Определение 3. Процесс x(t, ш), 0, со значениями в X называется (?Г()-согласованным, если x(t, •) при каждом t есть измеримое отображение (Q, Р) в X.
Определение 4. Вполне измеримыми называются подмножества в [0, °о)Хй, принадлежащие наименьшей а-алгеб-ре, относительно которой измеримы по (t, ш) все действительные, (^"^-согласованные, непрерывные справа и имеющие пределы слева процессы. Процесс х : [0, сю) Xfi-^A называется вполне измеримым, если для любого FGgft множество {(/, ш) :x(t, ы)б-Г} вполне измеримо.
