Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
гп
d>xt = X0(xt)dt + У Xt(xt)dW[, х0 = х, і=і
105: йли
dxt = X0 (xt)dt-\- X (xt)d\Vt, X0 = X,
ПІ
где (JC) = A0(JC)+ 4-2 X,Xi(X), т. е. ^S(JC) = ArS(JC) +
1=1
т d 1 4V4 V"4
+ ~2 2d 2d (^Xki / дх') Xj(x). Цель насто ящего параграфа - пока-
1=1/=1
зать существование гладкой плотности распределения xt, О, при условиях типа Хёрмандера. Этот результат установлен Ky-суокой и Струком (см. Струк [25], также Норрис [22], Белл [8]); в неавтономном случае аналогичный результат доказан Мишел и Шалейо — Морей с использованием техники уравнений в частных производных. Излагается схема доказательства теоремы о суммируемости обратной матрицы Маллявэна (основного технического момента), принадлежащего Норрису [22] и значительно упрощающего метод Кусуоки и Струка. Изложение ведется в рамках подхода Висмута (на русском языке о нем можно прочитать в работах А. Ю. Веретенникова [2], [3]), хотя в данном случае подход Закаи приводит к эквивалентному результату.
Обозначим Si(z) = {Xi(z), ..., Xm(z)), S2(Z)={[*,(•), Xj(-)](z), \<i<m, 0<J<m}, ..., Sft+1(z) = {[Li, L2](z), 1,6
€S*(-), L2 = X j(-), 0 </</»}, ...,Sk(Z)=USi(Z), ®N(z) =
i=l
= 2 (det(A, Ld))2, <0>O.
L № N{z)
Предполагается выполненным следующее условие типа Хёрмандера (H): найдется такое A^>0, что
Фл(х)>0 (3.26)
(л; — начальное условие из (3.24)).
Теорема 3.8. Пусть выполнено условие (H). Тогда для любого 0 величина Xt имеет плотность р(0, х\ t, -JGC^.
Предварительно установим несколько вспомогательных утверждений. Для того, чтобы воспользоваться теоремой 3.7, найдем явное выражение для матрицы SDuF, где F=xt, t>0, а us=(ushi, l^k^d, 1 sSCtsSCm), OsSCssSCT,— dXm-мерный матричный процесс. Повторяя отчасти аргументы § 4, рассмотрим матричное (dXm) СДУ
dxl>" = X0 (Xftt) ds + X (x*-*)(°dWs + Etisds),
(xE0-u)k = x, \<k<d, (3-27)
с eg[0, 1],. Процесс us предполагаем ^-согласованным и при-
T
надлежащим классу П L0 ([О, Т] X ^), т„ е. E IIkJIMs < <»
р> і " Oj
106: для всех /?> 1. При таком условии можно обосновать законность дифференцирования по є |f=o равенства
Eg(^) = Eg(^.»)*PA'(«) (1 <k<d),
где g?C~(Ed\ р*(є) = ехр(-є f U1^dws-(г2 і 2) =
Vo' б 1
= (W], ...,Wf)* (ср. с (3.21)). При этом получаем
t
Evg- (Xt) у; = Eg(Xt) \usdWs, (3.28)
о
где У' =(Ijf): =дхе('и/да\Е^0 = (дх;'/'пк1'де^0) — матрица размера dXd. Процесс yf удовлетворяет СДУ
dy? =vXB(xt)y«dt + yX(xt)y?odWt + X(xt)U!dt, ^
«/» =0( = Odxd)
(Odxd — нулевой элемент в EdX.Ed). Обозначим zt = dxtldx (производную по начальным данным). Матричный процесс zt удовлетворяет уравнению
dzt = VZ0 (xt)ztdt+VX (xt)ztodWt,
(3.30)
Zo = Idxd-
Поэтому с помощью «вариации постоянных» получаем представление (которое можно проверить и непосредственно)
t т
у" ^2'5 㥠2 х\ (Xs)WjdS (3.31)
О I= 1
(ср. с формулой для (S)F, SF)). Здесь оптимальный в определенном смысле выбор u'J = X*(.^)(271)* (см. Бисмут [10], Закаи [29]), что согласуется с выражением для (SF, SF). При этом выборе получаем
УЧ =ZtCt,
где
і т
Ct-S z7^Xt(xs)X;(xs)(z7r ds,
0 <=1
и поскольку E sup Il zt ||р < оо Vp> 1, то проверка E \\{уЧ)~1 ||р < о° о <г<г
сводится к проверке неравенства E || C71 ||р < оо.
Ключевую роль в доказательстве этого неравенства играет следующая
107: Лемма 3.3 (Кусуока и Струк). Пусть X^y0QR1, as, bs= = (b..., bf), vs = (v\, ..., v]})~ PJ'-согласованные процессы,
t t
Xi: = xu + I asds + j bsdWs, о о
t t
Уй=*Уо+ j j VsdWst
0 0
и пусть J^t0 — марковский момент, и
iasi, im. i, i usкс, s<t.
Тогда для любого q>\7 найдутся такие постоянные К, с, е0>0, что при всех є6(0, є0)
P (f «/?<*< <е», \{x) + \vt I2)^ >8 I < Ar ехр( —с/є), (3.32)
Vo O J
Изложим схему доказательства этой леммы, данного Норри-сом. Обозначим
t t Xt: = \xsds, M1: = \ vsdWs,
Nt-. = \ysvsdWs, Qt:^\xsbtdW„
о о
и при я, o > 0
Я, (и, б): = (ш: j у2 | vt |2 ds <и; sup j Nt \ > б j,
В2(>:, б): = (co:J I vs \2ds<y.; sup \ Mt |>б I,
о т
B3 (к, б):= со: f bs \2ds <и; sup | Q, | > б L
\0 Kx J
При любых x, б>0 с помощью мартингальных методов устанавливаются неравенства
P (Bi (к, 6))<2ехр (—б2/2х), l<i<3. (3.33)
Положим <7i= (q—1)/2, q2=(q—b)!8, q3=(q—9)/8 (все <7j>l), бі(є)=є«г (І^І^З) (пока что є* еще не выбраны), и докажем, что можно выбрать такие числа хі(е), х2(е), из(є), что при некоторых c,d>0 справедливы соотношения
Р(Я4)<2ехр (__с/е) (В^Ві(щ(г), 6,(е))), (3.34>
и при еб(0, d)
108: \ з
j y]dt < є?; J(jc« + |i)(f)d/>e]cu?„ (3.35)
откуда и получим искомое утверждение.
Положим Xi(є) =C2Sq (С — из условия леммы). В силу (3.33) Xi (є) удовлетворяет (3.34) при і= 1. Из
следует
jy2dt<e"
"Предполагая, что OXEB1, получаем отсюда
sup I Nt | = sup
t< X t< X
J ysxsds < S1 (s) = є?і,
а также
sup
t<x
Поскольку то, значит,
Имеем
и, стало быть,
\ 1/2
J ysxsds < ^0 J у]x]dsJ < twc&w.
ysdys=ysxsds+ysvsdws, t
f ysdys
sup
