Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
t< X
<(1+^/2Сє1/2)Є7,.
J^yl^lj ysdys+<j\Vs\lds,
W\vs\2dsdt=\y2dt-xy2-0 0 0
- 2 Щ yjy\ dt<e" + 2t0 (1 + to2Cs1/2) s"\
T /t
o Vo
откуда при достаточно малых є>0
т t
I vs 12dsdt <; (2^o+1)
о 0
(3.36)
109: Из (3.36) вытекает при всех ^(0, т]
X-t t с — / t X—г
t 5 \vs\4s=\dr \ \vs\4s<\ S \vs[4sdr<
О OO 0 0
X x—r X т
<5 $ I vs 12dsdr=\j 51 Dj 12^Sfi?/-< (2^5 + 1) гч\
OO OO
Поэтому для любого ^6(0, т] t
$ ю 2^s С(2г0+1) е71^+C2^1
0
что при t = {2t0 + 1)1/2е"і/2 Дает
г
+ 1),/2є?'/2. (3.37)
о
Поскольку qі/2>1, то (3.37) означает, что при достаточно малых є>0 имеет место оценка
(с -
P \y;dt< є"; \ \vs\7ds>&
\о o
и, стало быть, эта часть является упрощенным вариантом основной части доказательства Ватанабэ — Икэды ([1], доказательство теоремы 5.8.2).
X
Пусть теперь QAB2. Тогда sup | Mt | < б2 = е?'. Из\y2dt <Сг<>
Kx о
находим
mes (t: т], | yt | > є?/3) < є?'3,
и, значит,
mes (<:<е[0, Г], I y0 + Xt | >е"3 + в") < &"13.
Поэтому для любого т] найдется такое зб[0, т], |s — *]< < s?'3, что
(здесь использована также непрерывность Xt, и знак неравенства именно нестрогий). Стало быть,
t
\Уо+xt\<\y0 +Xs\-\-]\xr\dr<(\+C)
Поскольку при t = 0 отсюда следует | у0|<(1 + С) е?/3 + е?*, то
1 I < 2 (1 + С) є?/3 + 2в»> < Зе»« при достаточно малых е>0.
UO:
J < ЛГ ехр { — Clг), В силу формулы Ито
о
[ X2iClt = 5 XfdXt = JCt Art - J XiUidt — J M^-
0 0 О
Имеем (со €52)
I JCt^t I < 3Cef,
X
(3.38)
S
XiCLtdt
< SCt0Sq2,
л
J I 121 bt 12dt < 9С%є2^ = : M3 (є).
При таком X3 (є) и при WtEZJ2U-Ss получаем
Qxl =
< S3 = є"»
и, стало быть, из (3,38) следует
т
jj JC2C^ < ЗС (1 +10) + е*> < 2s"», о
если ?>0 дхтаточю мало. Это и Доказывает «вторую частью-искомой оценки: окончательно, находим при CoPjS11 U ^2U Въ
X
5 + + /2(С2 + 2^о + 1)<8,
о
если е>0 достаточно мало. Лемма 3.3 доказана.
Как уже говорилось, эта лемма является ключевым моментом доказательства теоремы, и окончание доказательства мы опускаем (его можно прочесть во многих местах, см. Струк [25], Норрис [22], Белл [8], а также формально при более жестких условиях типа Хёрмандера Икэда—Ватанабэ [1]; с учетом леммы 3.3 эти более жесткие условия можно ослабить).
§ 7. Стохастические дифференциальные уравнения (гладкость плотности по обратным переменным)
1. Струк [26] предложил прием, позволяющий устанавливать гладкость плотности распределения решения СДУ по обратным переменным. Здесь излагается не самый общий результат в этом направлении.
Теорема 3.9. Пусть выполнено условие (H) § 6. Тогда плотность p(t,x,y) решения СДУ (3.24) при t>0 принадлежит классу Сь°° по х и всякая производная SOxap(i,x,y) ограничена равностепенно относительно y&Ed.
Ill: Изложим схему доказательства. Пусть UczEd^Ed— ограниченная область, diam U^ZR, (EdY^Ed), supp/iczt/. В силу теорем вложения Соболева для доказательства искомого утверждения достаточно установить оценку
\l {SDaxp{t, х, у)) k(x, y)dxdy\<Ct,q,a,R\\h\\L4{U) (3.39)
с любым мультииндексом а, любым q>\, любой АбСо°(U) и постоянной Ct,a,R- В силу коммутативности операторов интегрирования и обобщенного дифференцирования SDax неравенство (3.39) эквивалентно следующему:
I J (®?Е h (г, xf)) \г=х dx I < Ct,q,a,R Il h Il^ W), (3.40)
где Xxt — решен-р СДУ (3.24). Выражение SDaxEh (z, xt) при 0 можно предок ть - виде
3)axEh(z, xf) = Eh(z, xf) Ga (л"), (3.41)
где xf—процесс в некотором расширенном фазовом пространстве (он включает, в частности, производные xf по некоторым направлениям по X до поряцка | а | включительно и обратную матрицу г/Г1 производных первого порядка, —yt = dxf Iдх, — см., например, А. Ю. Веретенников [3]), суммируемый в любой степени по мере Р, a Ga— некоторая функція класса С°°, растущая не быстрее чем степенным образом вместе с любой своей производной. В силу неравенства Гёльдера получаем
I Eh(x, xf)Ga[xf)\<
/ <7+1 \ _2_ I ? + 1 \ ?-1
ClE IA (JC1 Jtf) 1 2 J ІЕ IGe(^e)I '"1J 9+1 <
<С it, q, a)(]\h(x, y)\~p(t, X, у) Отсюда вновь в силу неравенства Гёльдера
I J(Z)JSEA (z, xf)) \2=,xdx |< <C(t, q, a)j(j|A(JC, у)\~~Т~ p(t, X, у) dy)TiTdx<
/ Г. ? + 1 X _2_
< C (t, q, a)(diam U) ?+1 M|A(jc, y)l 2 p(t,x,y)dxdy Г+1 < <C(t, q, a)(diam ^ J | A (jc, y)\«dxdy)j X
I p ?+1 \ Q-1
x[|/>(*. JC, y) Q-] dxdyj 2i9+)y <C<I?1a,«l|A||z?(?/), что и доказывает искомую оценку (3.40), а с ней и теорему 3.9. 112 Замечание. Результат теоремы 3.9 оказывается полезным при изучении некоторых асимптотик, например, больших уклонений для возвратных процессов, удовлетворяющих условиям типа Хёрмандера. В этих и других предельных теоремах полезно иметь в виду также результаты I, § 5 о носителе меры диффузионного процесса в пространстве траекторий. При условии (h) носитель меры совпадает со всем пространством С[0, oo; e"].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.— M.: Наука, 1986.— 445 с.
