Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
где Щ (t) отвечает свободному полю или «вакуумной части» решения
й? {I) = Oi, (0) е-**', (7.36)
a Gx[t — запаздывающая функция Грина
Г 0, если t < f,
Поскольку указание конкретного значения ГП, определяющего положение атома, не имеет особого смысла, мы примем далее, что атом находится в начале координат
Получить точное решение уравнений Гейзенберга (7 И) и (7.15) невозможно Однако, поскольку речь идет об атоме, уч тем далее, что спонтанный радиационный распад является очень медленным процессом, который происходит обычно на протяжении многих миллионов периодов колебаний диполя Для этого предположим, что операторы Л±(/) могуг Сыть представлены в виде R±(t) = 5±(f)exp(±/coo0. где S±(t)— неизвестные one раторы, временная зависимость которых является достаточно медленной по сравнению с ехр(±1ЫоО так что они могут быть вынесены из под знака интеграла в (7 35). После этого интег рированис производится без труда Например, последнее слагаемое в (7 35) дает
По истечении достаточно большого времени получаем простое предельное выражение
P
+ п&К - Wj)= - (7.39)
Здесь Я и б обозначают, как обычно, интегрирование в смысле главного значении и дельта-функцпю. і; — функция определена, след>я Гайтлеру [ІІ] Эти сокращенные обозначения оказываются весьма полезными
Оператор уничтожения для >.-fi моды удобно представить
Б ВИДЄ
где «вакуумная часть» й%{1) определена в (736), а «часть, связанная с источниками», т е. аЦІ), определяется с учетом приближенного вычисления интеграла в (7 35) выражением
"Ї W =' TT Й [й+ О C (% + %) — *_(')?¦ К -¦»„)]¦ (7.41)
Термин «часть, связанная с источниками» для аЦ1) подчеркивает, что Вклад второго слагаемого в (7 35) является аналогом вклада от источников, отражаемого хорошо известным запаздывающим потенциалом [18*]
представляющим собой решепня уравнения Максвелла (7 17).
Выражение (741) может быть названо также полем марковских источников1), поскольку приближение использованное при его получении, приводит к оператору й{ (/), зависящему лишь от атомных операторов с тем же временным аргументом / Это оз-пачает, что память системы о прошлых временах г/ < і в интеграле (7.35) очень слаба Отметим, что будущие времена f І>1 исключены выбором запаздывающего временного решения- Gy't — і ) обращается в нуль, если P'> (.
Чтобы полностью описать поведение атома при спонтанном излучении, следовало бы далее проинтегрировать уравнения (7 14а)—(7 14в) для атомных операторов Однако сделать это точно весьма трудно К счастью, интересно только первое приближение для времени жизни, формы и сдвига линии атомного перехода, так что интеї рнровать атомные уравнения в операторной форме нет необходимости
% (0 = йх(0 + й- (О,
(7.40)
1 Г [J* (( г )]заг
с J Ir —г I
(7.42)
') О марковских случайных процессах см, например, в [19*]— Прим.
Квантовая электродинамика и спонтанное излучение
167
Для целей настоящем главы достаточно найти вакуумное среднее операторов дипольного момента, вместо того чтобы на ходить сами операторы При этом следует проявить осторож ность, чтобы избежать приближения декоррелнции, аналогичного тому, которое Ведет к нолуклассическоЙ теории Найдем сначала произведения операторов AR3 и AR1 которые фигурируют в атомных уравнениях
Выражая А через rfA и а* с учетом того, что произведения операторов должны быть представлены в нормально упорядоченной форме, и приближенно интегрируя уравнение ДЛЯ Ux, приходим к следующим громоздким формулам:
m =1 в, {<%+в,ц)+f т? ? ві р (?-?)-6 (%+<»„)]+
У. >.
+•fZsPh-«О+6 С»+».)] «а <7-«>
I
и
+ T ТГ E Й[Г К - «y) - 5(? + .?)] R.. (7.44)
>.
Мы использовали здесь соотношения
&0>я±('>=±'ум<>. a*W«-fW-=V«±&M (7 45)
и
tW-rW±?(y)-fu(>l = -2™[tW±*u')l, (7 4f)
упрощающие запись правых частей.
Отметим, что первые слагаемые в выражениях для AR3 и Л?| представлены строго нормально упорядоченными Это необходимо (поскольку мы уже приняли нормальное упорядочение), так как вакуумная часть поля и часть, связанная с полем, не коммутируют отдельно с Ri или P3, несмотря на то что полные операторы мод й% и я?т как и само поле А, коммутируют (при Одинаковых временах) со всеми атомными операторами
Определив точно ARj и 4P3 [в рамках аппроксимации, отвечающей (7 41)], выполним далее вакуумное усреднение уравнений (7 14) По-т, вакуумным усреднением, обозначаемым посредством ( ), подразумевается усреднение по состоянию |ф)= = |вакуум)|Ф), где )ф) —произвольное состояние двухуровне-
Квантовая электродинамика и еппнтпнное иялучс
16
вого атома н |вакуум)— состояние, в котором ни фогоноп I о-воря точнее, (вакуум) удовлетворяет соотношению ва-
куум) = 0 Для энергетического уравнения находим
(т+«.С»). (7 47)
где 1/ті — произведение коэффициентов, фигурирующих в (7 43) и (7 14в).
.48)
На гримере перехода от уравнения (7 Ив) к (7 47) видно преимущество нормальною упорядочения операторов
Вакуумное среднее слагаемых, содержащих вакуумные части полевых операторов, равно нулю вследствие одного только упорядочения и безотносительно к какой либо декорреляции. Используя лишь свойства операторов свободного поля tf? (/Ji вакуум) = О и {вакуум |d?* (/) = 0, вытекающие из (7 5) и (7 36), получаем ')
