Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.10] УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 133
Поэтому
da
ИГ
dp
иг
2 a2 da.i fm dt '
2 __ da.2
dt
fm ___ 1 - s
dt fmp V * dt dt
S -- -
1-*2 /"(r)"da2
а|
)¦
Подставляя сюда (4.10.14), мы окончательно получим следующие уравнения
для элементов а, р, s:
¦Щ- = 2а2 (гS' -\УV2 - г2Т'),
dp ____ 2c2(z - со) ъ п>
2а|
dt
"[/" V2-г'
2 [с2 (г-со) rz - rQ] у,,_ 2с2а3г
Г +
ds
dt
rVv2- r2 г - 7:
1 -s2 |_ с2 (г -со) г
Р I г
| (4.10.15)
| с2 (z-со) rz - rQ у,_________
г У V2 - г2 а\ г (z - со) г - г2г + с2(1 - s2)z
^ -л Г -
Г У V2 - г2
г|
где положено
S = pnS\ Т = fmT', В = fmB'.
(4.10.16)
Заметим, что полученные уравнения являются совершенно точными, ибо при их
выводе никаких упрощений, связанных с малостью с и сг, не делалось.
Аналогичным образом можно вывести дифференциальные уравнения для
элементов М, Q и ю. Для этого нужно взять формулы (3.14.2)-(3.14.5), а
также'""^.lO.10), и применить к ним основную операцию. В результате
134 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
[ГЛ. IV
получим следующие уравнения:
= ДО + AJ' + А2Г + АгВ\ ^-=s^ + BlS, + Btr + B3Pt, = n0 + CiS' + C2T' +
C3B
)
J
Выражения для коэффициентов Ak, Bh и Ck с точностью до е2 включительно
получены в работе [6]. Здесь мы ради краткости приведем упрощенные
выражения для этих коэффициентов, сохранив в них лишь члены, не зависящие
от е:
В уравнениях (4.10.17) через г]з обозначена производная г]з по входящему
явно времени t.
Полученные здесь уравнения для элементов промежуточного движения носят
самый общий характер, поскольку они применимы для определения возмущений
от произвольных возмущающих сил. Следует заметить, однако, что ими
целесообразно пользоваться в тех случаях, когда возмущающие силы не имеют
силовой функции (сопротивление атмосферы и др.)- В случае возмущающих сил
гравитационной природы, по-видимому, целесообразнее воспользоваться более
простыми каноническими уравнениями, выведенными в § 4.5, или уравнениями
§ 4.9.
§ 4.11. Еще одна форма дифференциальных уравнений для элементов
Bt= - - - (р cosi|) -2ег),
53=-1/ --rsinSctgi, С3 - 0.
Перейдем в уравнениях (4.1.2) от времени t к новой независимой переменной
т согласно формуле
(it = J[dx% (4.11.1)
§ 4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 135
где
(4.11.2)
dl_Td(K-R) dl' т д (К - R)
dx 91' ' dx~~ dl
dx\ _ т d(K - R) dy\' _ T d (K - R)
dx dr\' * dx
dw _ j d(K - R) dw' _ j d (K - R)
dx dw' ' dx dw
(4.11.3)
При R = О уравнения (4.11.3) описывают промежуточное движение спутника.
Как было показано в § 3.17, общее решение уравнений промежуточного
движения однозначно определяется шестью величинами:
и = тп1 (т + с3), v = mz (т + с4), Q = тпа (т + с6),
причем wij, тп2 и тп3 даются формулами (3.17.16).
Поскольку в промежуточном движении координаты спутника достаточно просто
выражаются через р, е, s, и, v и Q, то представляется целесообразным
взять эти величины в качестве искомых при решении уравнений возмущенного
движения.
Чтобы вывести дифференциальные уравнения для этих элементов, нужно
подставить в (4.11.3) вместо
р, е, s, и, V, ?2,
где
р = a (1 - е2), s = sin г,
(4.11.4)
(4.11.5)
dl dr) dw dl' drf dw'
dx ' dx ' dx ' dx ' dx ' dx
следующие выражения:
dl _ dl dp . dl de .
dx dp dx ' de dx *
dl dQ dQ dx ' dt] dQ dQ dx '
dr] ________ dr\ dp i <9t) de .
dx dp dx ' de dx ' ' '
dw' _____ dw' dp I dw' de
dw' dQ dQ dx
136 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Тогда, имея в виду, что переменные r|, w, ?', т]', w' удовлетворяют
уравнениям
91 . д% , д% т дК
_rmi + _m2+_m3 = /_r(
dri . дц . Эц т дК
_mi+_±m2 + _Lm3 = /_
dw , dw . dw т дК
^Гт'+"з7т2 -r-dQTil3=J'd^'
1^т1 + ~д7т*+Жтз---------"af '
dri' . dri' , art' T dK
dw' , du/ du>' r 5/f
__mi + __ +_ ms = _ / _
получим
JL Jl _j__?L 11. i 4.
dp dx ' de dt ~r " ' ' dV dp . dl' de dp dx ' de dx
d\ / dQ
dQ (
91'
dx
dQ
dx
m
)=0, m3) -
= /
dR
91
dw dp , dw de dw ( dQ \ "
dp dx ~T~ de dx 5Q \ dx ) '
dw' dp . dw' de dp dx ' de dx
dw' / dQ
dQ
( dQ \
br-4=
=j
dR
dw
(4.11.6)
так как R не зависит от ?', r|', w'.
Преобразуем систему (4.11.6) к другой, более удобной системе. Для этого
введем скобки Лагранжа:
91 91'
da db
+(
91' 91 \ ,
da db )~> ?Ц ^Г)' da
ati'
db
da
з-ж
dw dw' dw' dw
da db
da db
§ 4.11] ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 137
и выразим производные R по 1, г], w через производные по элементам
согласно формулам
dR
dR dl
dp
dR
dl dp dR dl
dR 5r] | dR dw
5r] dp dw dp '
dR dr] j dR dw
de
dl de ' dt\ de ' dw de '
dR __ dR dl - dR di\
dR dw
dQ dl dQ 1 dr\ dQ 1 dw dQ '
Тогда, как легко видеть, уравнения (4.11.6) эквивалентны следующим
уравнениям:
[Р, Pi - + [/>, е\ •••+[/>> X
X
dQ
dx
тп3
J
X
)"
/ dQ \ т
(-5Г- тз)=/
dR
dp
dR
de
(4.11.7)
[Q, p] e] |L+ . . . + [0, Q] x
dQ
X
(•
dx
m-
) = J
dR
dQ
Следовательно, чтобы получить уравнения для элементов р, е, s, и, v, Q,
нужно вычислить скобки Лагранжа и разрешить систему (4.11.7) относительно
