Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
ds OR 4" $2 dR "Ь s3 dR
dt = "1 dl dg dh '
dl dR dR dR
dt = щ Ui da - 4 de - Si ds '
dg dR dR dR
dt = п.. ~а*ж - e2 de - Si ds '
dh dR dR dR
dt = Щ ~Лз~d^ - e3 de - S-.i ds '
где (с точностью до е2 включительно) 2 Г . , е2
ау--
Vfm
=- { 1 +4^(1- е2) cos2 i |,
а2 =-^=-{12 -15^ + 8 V 1-е2 cos2i), 2 Ума-i г 1
а,= -$Щ.{3 + 2У 1=?],
|/ fmar1
е2 = [(12 - 15s2)уТ^ё2 -
е |/ /яга ^ 4
-22 + 23s2-e2(18-17s2)l} , е3 = s2yi-f!c°s* {з + 5е2_з уJ372}f
2е У /та е2 (1 - е2) 5 cos2 i
sl =
21/ /та
* - wmbf f1-x ("-w+йч-лч} ,
(4.9.1)
(4.9.2)
(4.9.3)
(4.9.4)
§ 4.10] УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 129
Эти дифференциальные уравнения аналогичны уравнениям Лагранжа для
кеплеровых оскулирующих элементов.
§ 4.10. Дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Ньютона
В самом общем случае дифференциальные уравнения движения спутника можно
записать в виде
(Рх
dzy dt 2 d2z ~dfi
6W
dx
dW
dy
dW
dz
^F
V' I
(4.10.1)
где W - силовая функция в промежуточном движении, a Fx, Fy, Fz - проекции
возмущающего ускорения на оси координат Ox, Оу, Oz.
При изучении различных возмущений, таких, например, как возмущения от
сопротивления атмосферы, компоненты Fx, Fv, Fz не являются удобными.
Поэтому мы заменим их компонентами S, Т, В, которые введем следующим
образом. Пусть
г = Ух2 -f у2 -f (z-со)2, (4.10.2)
а V - орбитальная скорость. Тогда S есть компонент по радиусу-вектору т,
Т - компонент по направлению, перпендикулярному к г и составляющему с
направлением движения угол, меньший 90°, и лежащему в плоскости,
проходящей через г и V, а В есть компонент по нормали к этой плоскости.
Обозначим направляющие косинусы этих компонентов относительно
координатных осей Ох, Оу, Oz через sl5 s2, s3; Тц т2, т3 и Ьг, Ь2, Ь3
соответственно. Тогда для slt s2, s3 будем иметь
х у Z -I
Sj - -=• , ---- " S3 - -
ГГ г
9 е. п. Аксенов
(4.10.3)
130 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Поскольку вектор В перпендикулярен векторам S и V, то
t yz - (г - са) у L (г - са) х - xz t ху - ух
О1 =---------------------------------------------------т-, 02 --т-,
Оз --г-,
(4.10.4)
Где ______
Ь = гр/Г F2 -г2 (4.10.5)
Так как направление вектора Т совпадает с направлением
вектора В X 8, то для тх, т2, т3 легко находим следующие
формулы:
Tl=H=?L, та = %^, т3= ri-(z-ca) г ' (410>6)
Связь между компонентами Fx, Fy, Fz и S, Т, В будет даваться уравнениями
S = SiFx-\- s2Fу + s3F z,
Т = Ti^ -f-x2Fу + T3FZ, ^ (4.10.7)
В = biF x + b^F у -f- b3F z
или
Fx - SiS + т iT + biB,
Fу = s2S%%Tb%B, ^ (4.10.8)
F, = s3S -\-x3T -f- b3B.
Выберем теперь переменные, которыми мы будем описывать возмущенное
движение. В качестве таких переменных возьмем следующие шесть независимых
элементов:
а, р, s, Q, (о, М,
которые связаны с элементами а, е, i, Q0, со0 и М0 формулами (см. § 3.18)
а - а {1 + е2 (1 - е2) а2},
Р = Р {1 + 2е2 (1 + е2) а2},
1 - s2 = а2 {1 - е2 (1 - е2) (1 - а2)},
Q = цг|; -f- Q0, со = vip -f- со0, 1 М= щ (t - J
(4.10.9)
(4.10.10)
§ 4.10] УРАВНЕНИЯ, АНАЛОГИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯМ НЬЮТОНА 131
где
а = cos i, р = а (1 - е2),
причем в (4.10.9) отброшены члены порядка е4 и выше.
Для того чтобы вывести дифференциальные уравнения для этих элементов,
воспользуемся так называемой основной операцией *), которая в данном
случае заключается в следующем. Пусть
есть какой-либо первый интеграл уравнений промежуточного движения. Тогда
этому интегралу будет соответствовать следующее равенство:
ЗУ da dp , j№_ <&_ дЧ_ Г dQ 1 . дЧ Г dtp
П .
0а dt dp dt ds dt dQ L dt J da L dt J
Я, to и M no t, взятые только через посредство элементов, так что,
например,
Другими словами, при вычислении производной первого интеграла по времени
элементы а, р, s, Я0, со0, М0 рассматриваются как функции времени,
координаты и время-
заменяются соответствующими компонентами возмущающего ускорения.
Выведем сначала дифференциальные уравнения для элементов а, р, s. Для
этого воспользуемся тремя первыми интегралами, которые на основании § 2.3
могут быть
*) Подробно об основной операции в случае кеплеровых элементов см. книгу
М. Ф. Субботина [1].
УЧ л УЧ (I • • •
? (а, р, s, Я, со, М;\ х, у, z; х, г/, z; t) = 0
при этом
da) ] Г dM Л
-гг и -гг- означают производные
(4.10.11)
как постоянные, а производные по времени от х, у, z
9*
132
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
записаны в виде
2с = Г*- , 1
g2+C2 Tl2
а\ = r2F2 - r2r2 - c2z2 <2, a 3 = xy - yx,
(4.10.12)
где Q дается формулой (2.3.8).
Применяя основную операцию к интегралам (4.10.12), мы получим
^- = xFx + yFy + zFz,
Art * ' • ' • (r)
а2 -jf- = тг{xFx-\-yFy-\-zFz) -
¦ ГГ [xFx + yFy + (z - co) - c2zFz,
= xF -'vF
dt -xrv Hrx-
(4.10.13)
Подставим в эти уравнения формулы (4.10.8), а затем
(4.10.3), (4.10.4) и (4.10.6). Тогда
*2L = rS + V F2 -г2 Т,
оц
da?
~dt
__ r("ij-(?)-|-c2(z-eg) rz j,____
7 V V2-r2
c2 (z - ca)z
S-
r V V2 - r-
¦5,
da3
A
"3 j rz - (z - ca).r ^
К2-Г2
]/ y2_r2
(4.10.14)
Ho согласно § 3.18
