Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
решетки кристалла, то соответствующая квазичастица обычно
называется экситоном Ванье-Мотта или экситоном большого
радиуса. Рассмотрим этот вопрос несколько более подробно.
Допустим, что у диэлектрика в зоне проводимости имеется один
электрон с эффективной массой те, а в валентной зоне - одна
дырка с эффективной массой mh. Если предположить, что в такой
среде взаимодействие между этими квазичастицами определяется
законом Кулона V (г) = - е2/ег, где е - статическая
диэлектрическая проницаемость*), а г - расстояние между
электроном и дыркой, то уравнение Шредингера для системы
электрон - дырка будет иметь следующий вид **):
*) Ясно, что такой вид электрон-дырочного взаимодействия
справедлив лишь при больших г.
**) Последовательная теория экситонов Ванье - Мотта, и в
частности обсуждение границ применимости уравнения (В,2),
содержится в книге Нокса [7] и обзоре Хакена [20].
(В, 2)
12
ВВЕДЕНИЕ
Это уравнение совпадает с уравнением для водородоподобного
атома. Решение его при Е < О, т. е. для связанных состояний,
имеет вид
4Wk = eikR/WO. (В.З)
где R - координата центра масс электрон-дырочной пары, Fnlm(r)
- волновая функция водородоподобного атома, эффективный заряд
которого Ze - e!t, п, I, т - главное, орбитальное и магнитное
квантовые числа, Йк - квазиимпульс, определяющий
поступательное движение электрон-дырочной пары как целого. В
состоянии (В,3) энергия
г-- /1 \ Ц?4 I Ь2 к2 /1 . 1 \-1
.
п (к) - ~ 2Й2е2п2 + 2 (те + тк) ' ГД6 ' ^В'4^
Величина энергии (В,4) отсчитана от дна зоны проводимости и
ее абсолютное значение при к = 0 равно энергии связи электрона
и дырки в покоящемся экситоне. Отметим, что столь простая
зависимость энергии экситона Ванье - Мотта от волнового
вектора не сохраняется при более последовательном учете
электрон-дырочного взаимодействия в кристалле (см. [7]), а
заменяется зависимостью ^(к) более общего вида.
Если энергию экситона ?^(к) можно разложить в ряд по степе-
ням малых к, то в кристаллах с центром инверсии
Es(k) = Es(0)+-^-kikJ+ .... (В,5)
2mij
где т.* -тензор эффективной массы экситона в s-й зоне:
т..
ч
¦ I,2 J d2Es (k) 1 \ dktdkj fk_0-
Если ?^(к) зависит только от модуля к, то m*lj = m*bl., где
f
1 dk2 ik=0
В зависимости от вида Es(k) эффективная масса может быть как
положительной, так и отрицательной.
В теории экситонов нередко используется так называемое при-
ближение эффективной массы, в соответствии с которым
зависимость ?5(к) определяется соотношением вида (В,5), где
сохранены только выписанные слагаемые, В этом приближении
эффективная масса непосредственно характеризует также и ширину
экситонной зоны, которая при неучете анизотропии определяется
по порядку величины соотношением
fi2trr2
А ? = (В,6)
4 2 | т* | а2
ВВЕДЕНИЕ
13
где а - постоянная решетки. Таким образом, широким экситонным
вонам в этом приближении отвечают малые эффективные массы и,
наоборот, узким зонам отвечают большие |от*|.
Как уже указывалось, экситон Френкеля и экситон Ванье -
Мотта отвечают двум предельным ситуациям, возникающим при
связывании электрона и дырки. По;кольку в персом случае
электрон и дырка оказываются локализованными на одной и той же
молекуле, роль взаимодействия этих электрона и дырки с другими
молекулами относительно слаба, так что при построении волновой
функции экситона могут быть с успехом использованы волновые
функции состояний изолированных молекул. Наоборот, экситон
Ванье-Мотта отвечает среднему расстоянию между электроном и
дыркой, много превышающему постоянную решетки кристалла. В
этом случае, очевидно, свойства среды существенно влияют на
энергию взаимодействия электрона и дырки. Как это следует из
(В,2), это взаимодействие в простейшей теории определяется
диэлектрической проницаемостью среды.
Для того чтобы создать экситон, необходимо, очевидно,
затратить энергию, меньшую той, которая идет на образование
свободных электрона и дырки. Разность между этими энергиями,
равная энергии связи электрона и дырки, сильно меняется от
кристалла к кристаллу. Так, в полупроводниках с большой
диэлектрической проницаемостью эта энергия связи [см. (В,4)]
составляет величину порядка сотых электрон-вольта. Наоборот, в
молекулярных кристаллах эта энергия может составлять несколько
электрон-вольт. Это обстоятельство приводит к тому, что роль
экситонов в этих кристаллах может быть весьма различной. Так,
в первом случае (в полупроводниках с большим значением
диэлектрической проницаемости е) при не очень низких
температурах экситоны легко (например, при поглощении фононов)
распадаются на свободные электрон и дырку, в результате чего
возникает особая проблема исследования установления равновесия
в системе экситоны - дырки - электроны. Наоборот, при больших
энергиях связи между электроном и дыркой процесс диссоциации
экситона на свободные электрон и дырку требует большой энергии
активации и маловероятен. В этом случае свободные носители
