Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Теперь представим с. в. X в виде суммы п случайных величин:
X = (И.8.2)
где Xi- индикатор события А в i-м опыте:
Jl, если в г'-м опыте А произошло,; 1 ~~" 1O1 если в і-м опыте А не произошло, (i = 1, 2, .... п).
*) Желающие могут познакомиться с нею по любой книге, специально посвященной математической статистике, например, [10].
11.8. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПО ЧАСТОТЕ
463
Из центральной предельной теоремы мы знаем, что при достаточно большом п сумма п независимых случайных величин распределена приблизительно нормально; значит, с. в. X мояшо считать распределенной по нормальному закону с параметрами пр и 1/npq. Ее линейная функция р* = XIn имеет также нормальное распределение с параметрами:
mv* _ M [р+] - Pf (11.8.3)
<V = VmF] = VK/rf - Vpqfr. (11.8.4)
Из того, что математическое ожидание частоты р* события А равно р, следует, что р* является не см е-* ще иной оценкой для р (то, что эта оценка состоятельна, следует из теоремы Бернулли (п. 10.1)).
Чтобы оценить точность приближенного равенства р « р*, найдем вероятность того, что ошибка этого равенства не превысит е:
P (I Р* - P К е} = 2Ф (*/*,•) - 2Ф . (11.8.5)
Пример 1. Найти вероятность того, что при м=* == 600 бросаниях монеты (см. пример в п. 1.3) ошибка от замены вероятности частотой не превысит є — 0,05,
Решение. В данном случае р = q = 0,5;
P {| — 0,51 < 0,05} = 2Ф (0,05 - 24,5/0,5)& 0,986.
Итак, с довольно высокой вероятностью 0,986 можно утверждать, что при п = 600 бросаниях монеты ошибка от замены вероятности частотой не превысит 0,05. >
В данном примере наша задача облегчалась тем, что вероятность появления герба р нам была известна заранее (так что, собственно, незачем было заменять ее частотой). В большинстве практических задач вероятность р заранее неизвестпа; из положения можно выйти, заменив в формулах (11.8.4) и (11.8.5) вероятность р ее приближенным значением /?*, а вместо q поставив д* =» = 1-/7*, Формула (11.8.5) приближенно запишется в виде:
P <| Р* - P К е} « 2Ф (^7==5). (11.8.6)
Пример 2. Произведено п = 400 опытов с целью определения вероятности р события А. Из этих 400 опы-
464 ГЛ. Ii. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
тов в 101 появилось событие А. Найти вероятность того, что приняв р » р* = 101/400, мы не сделаем ошибки больше, чем е = 0,02.
Решение, р** 0,253, g*« 0,747; p*q* ~ 0,189.
p {IР* - P К е} « 2Ф ( ^02^400 ) « 0,642. (11.8.7)
Итак, вероятность того, что ошибка приближенного равенства р « 0,253 не превзойдет 0,02, не очень велика и составляет около 64%. >
Пример 3. Сколько опытов п надо произвести в условиях предыдущего примера, чтобы ошибка приближенного равенства р «р* не превысила 0,02 с вероятностью не меньше, чем 0,9?
Решение. Будем исходить из того, что частота события А при увеличенном числе опытов останется приблизительно той же, как и при w== 400 (все наши расчеты носят ориентировочный характер). Нам нужно, чтобы 2Ф(0,02Ул/0,4349) было не меньше, чем 0,9, т. е. Ф(0,02Уи/0,4349)^ 0,45. Найдем, пользуясь таблицей приложения 2, то значение аргумента, при котором функция Лапласа становится равной 0,45; оно приближенно равно 1,64; отсюда
0,02 1/п ^л а, лг-^ 1,64-0,4349 _ Qr аа ^4349->li64; Vn >-^-1щ-^35,66,
п>1271в >
Рассмотренный пример поучителен тем, что показывает, какое грандиозное число опытов требуется, чтобы добиться удовлетворительной точности определения вероятности по частоте. Обычно мы определяем вероятности событий по значительно меньшему числу опытов; надо отдавать себе отчет в том, что точность приближенного равенства р «/?*, как правило, невелика и, значит, нет смысла сохранять большое число значащих цифр в полученной таким образом вероятности.
К изложенному вопросу об оценке вероятности по частоте тесно примыкает другой, имеющий большое практическое значение вопрос о значимости расхождений между двумя частотами.
Пусть произведепо две серии, состоящих соответственно из Пі и пг опытов. В каждом из них регистрировалось появление или непоявление одного и того же события A4
і 1.8. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПО ЧАСТОТЕ
465
В первой серии событие А появилось в кі опытах, во второй — в к2 опытах, причем частота события А в первой серии получилась больше, чем во второй: Px^kJn1 > > P2 = к2/п2. Разность между двумя частота получилась равной г0:
p\-pl = r0. (11.8.8)
Спрашивается, значимо или не значимо это расхождение? Указывает ли оно на то, что в первой серии опытов событие А действительно вероятнее, чем во второй, или расхождение между частотами надо считать случайным?
При решении этой задачи мы воспользуемся классическим в математической статистике приемом нуль-гипотезы. Нуль-гипотеза H0 состоит в том, что различия в вероятностях не существует, то есть обе серии опытов произведены в одинаковых условиях, а расхождение г0 объясняется случайными причинами. Выдвинув нуль-гипотезу, подсчитывают вероятность того, что при этой гипотезе расхождение превзойдет наблюденное г0. Если эта вероятность очень мала (меньше той вероятности а, при которой мы уговорились считать событие практически невозможным), то нуль-гипотезу надо отбросить, как противоречащую опытным данным; если же вероятность не очень мала, гипотезу H0 отбрасывать не надо, а расхождение г0 можно объяснить случайными причинами.
