Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
i-l \ i=i / п i=l п Kj
Так как статистическая дисперсия D* не зависит от того, где выбрать начало координат, выберем его в точке т, то есть отцентрируем все случайные величины X1, X2, ,.., Xn. Тогда
D* шш
Jjj Xf--2 2!d ^1^.
г<3
Найдем м. о. величины Z)*:
M [D*}
M
2*?1-4м[2вд
(11.6,11)
(11.6.12)
і 1.6. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
455
Но M [х\] = D1 M [kiX}] = O1 и формула (11.6.12) дает:
M [D*] = ^2D~4I> [ад] - ^ D. (И.6.13)
Отсюда видно, что величина не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее м. о. не равно Z), а несколько меньше. Пользуясь оценкой D* вместо D1 мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать,
достаточно ввести поправку, умножив D* на ^~ZT]} тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:
п
D = D"
V
равную статистической дисперсии, умноженной на дг и деленпой на п — 1:
п
или, выражая D через статистический второй начальный момент,
b^%x2i-^}^-i- <11615>
При больших значениях п поправочный множитель п/(п— 1) становится близким к единице, и его применение теряет смысл.
А теперь, произведя уже все необходимые выкладки, мы можем забыть о том, что результаты п опытов случайны, и записать их в виде последовательности известных чисел:
и сформулировать правило приближенного нахождения математического ожидания m и дисперсии D случайной величины X по опытным данным. В качестве приближенных значений (оценок) этих характеристик нужно взять:
п п
™ = ™* = IT 2 5--1-20?- т)\ (11,6.16)
1=1 І = 1
456 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Вместо второй из формул (11.6.16) часто бывает удобнее пользоваться выражением
Можно доказать (мы этого делать не будем)', что Тага
кои же поправочный множитель -—т нужно вводить
и при вычислении несмещенной оценки для ковариации двух с. в. X и У:
Кху = M [XYU
а именно, если в результате п опытов получено п пар значений случайных величин X и У:
(si, j/i); (?, j/2); »0; (*й,
то несмещенная оценка для их ковариации будет:
п
K*v - J=I 2 (*i - - (11-6.18)
где
п п
^ = -^2**' ™ув 4 2^- (и.6.19)
і=і г-=і
можно вычислять и по равносильной (11.6.18) формуле:
- [т 2 - Г=Т (".МО)
Оценку коэффициента корреляции св. X и У находят по формуле:
7x„=-fe=r. (11.6.21)
Пример 1. Произведено 20 измерений входного напряжения X и выходного напряжения У (в вольтах) на входе и выходе технического устройства (ТУ); результаты сведены в таблицу:
116. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
457
і
і
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-15
3
15
48
-5
-37
—22
-2
3
И
Уі
-11
—3
3
9
-2
-17
—9
—3
5
7
і
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
хі
-4
-9
21
55
-17
-15
15
-4
-39
1
Уі
-2
3
И
19
-12
1
13
5
-13
0
(11.6.22)
Найти оценки для числовых характеристик системы св. (X, Y).
20
10
• . 0
_j_і_і_і 9 і
-.50 -JO -70 %
-10
__і_і_і_і_і_
10 JO 60 X
-20t Рис. 11.6.1
Решение. На рис. 11.6.1 приведены эти статистические данные в виде точек на плоскости хОу. По формуле (11.6.6) находим оценки тх и ту:
20 20
** = 25 2 ** » °*150; ™v - 25 2 Уі °*200-
IUx
zu _ _
і=1 г=1
458
ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
По формуле (11.6.14) находим несмещенные оценки для дисперсий и с. к. о.:
20 _
Dy a 83д; Oy « 9,11.
По формуле (11.6.20) находим оценку для ковариации:
Кху = |j) 2 х№ — ™*™v j S A 198а
откуда, по формуле (11.6.21) находим оценку для коэффициента корреляции с. в. X и У:
гху = KJIDx • Dy» 0,921.
Мы видим, что между X и Y существует довольно тесная (причем положительная) корреляционная зависимость, что видно и из рис. 11.6.1.
11.7. Точность и надежность оценок числовых характеристик случайной величины
В предыдущем пункте мы показали, что подходящими (состоятельными и несмещенными) оценками для математического ожидания т и дисперсии D случайной величины X являются т и D (11.6.16). Эти оценки как функции п случайных величин X1, X2, ..., Xn сами представляют собой случайные величины.
Разумеется, заменяя т и D их оценками т и Д мы совершаем какую-то ошибку; интересно оценить эту ошибку и найти вероятность ?e того, что она не превзойдет какого-то е (эта величина г характеризует точность оценки, а вероятность ?e — ее надежность). Здесь мы изложим только элементы теории точности и надежности оценок; при этом будем предполагать, что число опытов п не слишком мало (порядка десятков).
Чтобы оценить точность и надежность оценки, нужно знать ее закон распределения. На наше счастье, он во многих случаях оказывается близким к нормальному.
Ii.7. ТОЧНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ОЦЕНОК 459
Действительно, среднее статистическое значение с. в. X:
і=1
представляет собой сумму сравнительно большого числа п независимых случайных величин и, согласно центральной предельной теореме, имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием
