Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Критерий согласия х2 можпо примепять и для непрерывных случайных величин, если, группируя статистический ряд, приближенно заменить непрерывную с. в. X
ДИСКреТНОЙ С ВОЗМОЖНЫМИ ЗПачеПИЯМИ Xi1 X2, . . ., Xi, ...
xh, где х{ — середина 1-го разряда (п. 11.3):
448 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
а Pi — частота попадания с. в. X в г-й разряд:
р{ = щ/п;
число значений св., попавших в г-й разряд (J='
Пусть мы хотим выровнять (сгладить) статистическое распределение (11.5.9) с помощью гипотетической плотпости /(#). Будем поступать точно так же, как для дискретной с в. X, заменяя частоты Pi их гипотетическими значениями: pi = P {X е (хі, Xi+1)} — т. е. вероятность попадания с. в. X в г-й разряд, вычисляемая по
формуле: Pi= \ f(x)dx; вместо числа значений св.
берется число разрядов к.
Во всем остальном поступаем и рассуждаем так же, как для дискретной с. в.
Пример 1. Произведено = 800 наблюдений над случайной величиной X, возможные значения которой: #1 = 0; х2=1; xi+i = i; ZiI = IO. Результаты 800 опытов представлены в виде таблицы:
Значение
0
1
2
3
4
Число появлений п{
25
81
124
146
175
Значение xi
5
6
7
8
9
10
Число появлений п{
106
80
35
16
6
6
Требуется оцепить правдоподобие гипотезы //, состоящей в том, что X распределена по закону Пуассона с параметром а, равным статистическому среднему наблюденных значений св. Х.В качестве уровня значимости принять а = 0,15.
Решение. Деля Пі на п, получим группированный статистический ряд. Собственно говоря, оп пам не нужен, так как в формуле (11.5.5) фигурируют не частоты Pit а только числа щ\ приводим здесь этот ряд для наглядности.
= 1, 2, /с); S щ =п.
И.5. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ х*
449
0
1
2
3
4
*
Pi
0,031
0,Ю1
0,155
0,183
0,219
5
6
7
8
9
10
*
Pi
0,132
0,100
0,044
0,020
0,008
0,008
Найдем статистическое среднее т*}
10
ml = 2 XiPi = 0-0,031 + 1•O2IOl + 2-0,155 +
+ 3-0,183 + 4-0,219 + 5-0,132 + 6•0,1OO + 7-0,044 +
+ 8-0,020 + 9-0,008 + 10-0,008^3,716.
Вычислим вероятности Pu соответствующие закону Пуассона, по формуле:
где а = m* = 3,716.
"По найденному зпачению а = 3,716 рассчитываем вероятности р{:
0
1
2
3
4
5
Pi
0,0243
0,0904
0,1680
0,2081
0,1933
0,1437
6
7
8
9
10
Pi
0,0890
0,0472
0,0219
0,0091
0,0033
По формуле (11.5.5)* находим значение %*:
10
5С2= 2 (пі-npiY/inpi) ^ 15,2.
i=o
Число степеней свободы г в данном случае равно числу значений случайной величины (A = H) минус едини*
15 Теория вероятностей и ее
450 ГЛ. і і. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ца (первое условие: 2 Pi — 1 и минус еще единица— i=i /
совпадение гипотетического м. о. со статистическим: «=11-1-1 = 9. По таблице приложения 3 находим для г = 9 и xs ==15, р ==0,1. Таким образом, в данном примере гипотеза II о пуассоновском распределении с в. x противоречит опытным данным и ее падо отбросить, так как р « 0,1 < а достаточно мала. >
Пример 2. Пользуясь критерием согласия /2 Пирсона, определить, не противоречит ли опытпым данным гипотеза о том, что св. X, приведенная в п. 11.4 (статистическое распределение (11.4.3)), распределена по нормальному закону с теми же м. о. и дисперсией, уровень значимости а = 0,1.
Решение. Определяем число степеней свободы г распределения х2; оно равно числу разрядов & = 8 минус
число наложенных связей: 1) 2 Pi = U 2) т = тх =
_ i=l
= 0,168; 3) ах - VDx = ох = 1,448; г - 8- 3 - 5.
Составим таблицу вероятностей попадапий с в. X, подчиненной нормальному закопу с параметрами т — = 0,168 и 0 = 1,448 в разряды
Разряды
(.4)4-(-3)
(-3)4-4-(-2)
(-2)4-
-н-1)
(-1)4-0
Вероятности P1
0,0126
0,0522
0,1422
0,2433
Разряды
0-М
14-2
24-3
34-4
Вероятности р і
0,2668
0,1789
0,0770
0,0212
(11.5.10)
Пользуясь данными таблиц (11.4.3) и (11.5.10)', вычислим вначение х* (га = 500):
зс2= S («і -npiWnpd-W.
і=1
По таблице приложения 3 при г« 5 и ха = 3,99 находим значение р «0,55; это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальпости распределения с. в. X не противоречит опытным данным. >
іі.б. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 451
15*
11.6. Оценка числовых характеристик случайных величин по ограниченному числу опытов
Выше мы рассмотрели некоторые задачи математической статистики, относящиеся к обработке опытных дан-пых. Это были задачи нахождения закона распределения с. в. по результатам опытов. Для того, чтобы такая задача имела смысл, нужно располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка нескольких сотен опытов (наблюдений). Однако на практике нередко приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема — с двумя-тремя десятками наблюдений, часто даже меньше. Это обычно связано с дороговизной и сложностью каждого отдельного опыта. Такого ограниченного материала явно недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения случайной величины, но все же он может быть использован для получения некоторых сведении о ней; например, на основе ограниченного статистического материала можно определить — хотя бы ориентировочно,— важнейшие числовые характеристики с. в.: математическое ожидание, дисперсию, иногда — высшие моменты. На практике нередко бывает, что вид закона распределения известен заранее, а требуется найти только параметры, от которых он зависит (например, т и о для нормального закона). Наконец, в некоторых задачах закон распределения с. в. вообще несуществен, а требуется знать только ее числовые характеристики.
