Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 129

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 137 >> Следующая


Рассмотрим вопрос об определении числовых характеристик с. в. X по результатам п независимых опытов. Допустим, что опыты еще не произведены, их результаты нам неизвестпы, случайны. Обозначим Xi значение, которое примет с. в. X в i-u опыте; результаты опыта — п независимых случайных величин:

X11 X2, X4 Xn. (11.6.1)

Будем рассматривать их как п «экземпляров» случайной величины X, каждый из которых имеет тот же закон распределения, что и сама с. в. X.

Предположим, что мы хотим определить (пусть приближенно) по результатам п опытов (11.6.1) пекоторый параметр а, связанный с закопом распределения с. в. X. Будем называть приближенное значение параметра а его

452 ГЛ. і і. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

оценкой. Любая оценка, вычисляемая на основе экспериментальных данных (11.6.1), есть функция этих случайных величин и, значит, тоже случайная величина. Обозначим а оценку параметра а:

S = Cp(X1, X2, ...,Xn). (11.6.2)

Например, естественной оценкой для математического ожидания тх с. в. X является среднее арифметическое ее наблюденных значений:

п

тх = т*х==^^Х{ (11.6.3)

(в других случаях выбор оценки может быть не столь очевидным, как мы убедимся ниже).

Итак, любая оценка а параметра а —- случайная величина — функция п случайпых величии X1, X2, ..., Xn (п «экземпляров» случайной величины X). Закон распределения этой с. в. а зависит от закона распределения с. в. X и от вида функции ф, выражающей а через X1, X2, ..., Xn, а значит и от числа опытов п. Этот закон распределения может быть найден методами теории вероятностей; иногда он, на наше счастье, оказывается довольно простым. Предъявим к оценке а ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой.

Естественно потребовать от оценки а, чтобы при увеличении числа опытов п она приближалась (сходилась

по вероятности) к искомому параметру a ^-—"^^j-

Оценка, обладающая таким свойством, называется со-стоятельной.

Кроме того, желательно, чтобы, пользуясь величиной а вместо а, мы по крайней мере не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, т. е. чтобы выполнялось условие:

M [а] = а. (11.6.4)

Оценка, обладающая таким свойством, называется несмещенной.

Наконец, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка была как можпо менее случайной, т. е. обладала по сравнению с другими минимальной дисперсией:

D [а] = min, (11,6.5)

11.6. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

453

Оцепка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям. Например, иногда формулы для вычисления эффективной оценки слишком сложны, и приходится удовлетворяться другой оценкой, дисперсия которой несколько больше. Иногда применяются — в интересах простоты расчетов — незначительно смещенные оценки.

Так или иначе, при выборе оценки любого параметра желательно ее критическое рассмотрение со всех вышеупомянутых точек зрения.

Здесь мы ограничимся нахождением — по результатам опытов (11.6.1) оценок для математического ожидания m и дисперсии D случайной величины X : M [X] =пг; D[X] = D.

Мы уже упоминали, что естественной оценкой для математического ожидания m случайной величины X является среднее арифметическое ее наблюденных значений (или статистическое среднее):

п

,7* = m* - -L X1. (11.6.6)

i=*l

Нетрудно убедиться, что эта оценка состоятельна: согласпо закону больших чисел (п. 10.1) при увеличении числа опытов п она сходится по вероятности к математическому ожиданию m случайной величины X.

Посмотрим, является ли эта оценка несмещенной? Для этого найдем ее математическое ожидание:

[п "1 п п

i=l J і=1 і=1

(11.6.7)

то есть оценка in для m является несмещенной. Найдем дисперсию этой оценки:

п п

D [m] - D [m*] = Д> 2 D Iх й = k 2 D = (11-6-8)

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения с. в. X. Можно доказать (мы этого делать не будем), что если с. в, X распреде-

454

ГЛ, И. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

лена нормально, то оценка т = т* для математического ожидания т является и эффективной.

Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений X, от среднего:

(11.6.9)

г=1

Проверим, состоятельна ли эта оценка? Выразим ее через статистический второй начальный момент, т. е. через среднее арифметическое квадратов наблюденных значений:

D*

т

(11.6.10)

Первый члеп в правой части —- среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X2 сходится по вероятности к ее м.о.: M [X2] = а2 [X]. Второй член сходится по вероятности к т2; вся величина (11.6.10) сходится по вероятности к а2 — m2 = D. Значит, оценка (11.6.9) состоятельна.

Проверим, является ли она также и несмещенной? Подставим в (11.6.9) вместо т его выражение (11.6.6) и произведем указанные действия:
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed