Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Rl
ема V и замечая, что S = —^-, получим:
V = 2ъ (cS ± (8)
Таково окончательное выражение для объема тела, полученного при вращении сектора. Знак плюс при этом берется в том случае, если трапеция A0ABB0 не содержит внутрен-
266
них точек дуги АВУ а знак минус случае.
Рассмотрим частные случаи.
1. Вокруг прямой t вращается круг. Полученное при этом тело вращения является тором (черт. 233). В этом случае h = О и S =7zR2. Объем тора:
V = 2kct,R2 = 2>k2cR2.
2. Сектор F представляет полукруг, диаметр которого лежит на прямой t (черт. 232). Теперь с = О, h = 2 R1 и мы имеем:
в противоположном
V = 2т,
h • R*
Черт. 238
Получили известную из школьного курса формулу объема шара.
3. Сектор F представляет полукруг, касающийся прямой уt причем диаметр AB параллелен этой прямой (черт. 238). Для данного случая с = R, h = 2 R и перед h надо взять знак минус:
^-¦^)-(-4-)-*-
V = 2* R
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I.
Основные понятия
§ 1. Введение..................... 3
§ 2. Аксиомы принадлежности............ 7
§ 3. Порядок точек на прямой............ 8
§ 4. Понятие фигуры................ 11
§ 5. Угол...................... 13
§ 6. Многоугольник................. 18
§ 7. Понятие движения в элементарной геометрии . . 21
§ 8. Равенство фигур................ 25
§ 9. Деление угла пополам. Перпендикулярные прямые 29
§ 10. Окружность................... 33
§11. Две окружности................ 35
§ 12. Параллельные прямые............. 38
Глава И. Построения на плоскости
§ 13. Построения на плоскости при помощи циркуля и
линейки.................... 41
§ 14. Понятие о построениях при помощи одного циркуля 44
§ 15. Понятие о построениях при помощи одной линейки 45
§ 16. Построения при помощи двусторонней линейки . . 47
§ 17. О методах решения задач на построение..... 49
§ 18. «Метод геометрических мест».......... 53
Глава III. Движения на плоскости
§ 19. Общие свойства движений............ 56
§ 20. Отражение от прямой.............. 58
§ 21. Движение произвольного вида на плоскости ... 60
§ 22. Векторы.................... 62
§ 23. Переносы на плоскости............. 64
268
§ 24. Ориентированные углы............. 67
§ 25. Повороты на плоскости............. 71
§ 26. Скользящее отражение............. 75
§ 27. Классификация движений на плоскости .... 78
§28. Применение движений к геометрическим построениям 7Э
Глава IV. Измерение отрезков
§ 29. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки...... 83
§ 30. Арифметизированный луч............ 86
§31. Измерение отрезков............... 90
§ 32. Переход от одной единицы измерения к другой.
Отношение отрезков.............. 94
§ 33. Задача, обратная задаче измерения отрезков ... 97
§ 34. Пропорциональные отрезки........... 99
Глава V. Гомотетия и подобие
§ 35. Определение и свойства гомотетии....... 102
§ 36. Различные способы задания гомотетии...... 107
§ 37. Гомотетия окружностей........= . . . . ПО
§ 38. Произведение гомотетий............. 111
§ 39. Преобразование подобия на плоскости...... 115
§ 40. Подобие фигур на плоскости.......... 118
§41. Метод подобия................. 121
Глава VI. Элементы геометрии окружностей
§ 42. Степень точки относительно окружности • . . . . 123
§ 43. Радикальная ось................ 125
§ 44. Радикальный центр............... 128
§ 45. Окружность Аполлония............. 131
§ 46. Инверсия................... 135
§ 47. Инверсия прямой и окружности......... 140
§ 48. Основное свойство инверсии.......... . 144
§ 49. Задача Аполлония............... 147
Глава VII.
Построения на плоскости
(продолжение)
§ 50. Алгебраический метод решения задач на построение 149 § 51. Точки, построение которых осуществимо циркулем
и линейкой................... 156
269
§ 52. Неразрешимость некоторых задач на построение
циркулем и линейкой .............
§ 53. Построения одним циркулем.........• 166
Глава VIII. Длина окружности
§ 54. Деление окружности на равные части...... 169
§ 55. Правильные многоугольники . *......... 176
§ 56. Длина окружности............... 179
§ 57. Спрямление окружности. Длина дуги...... 183
Глава IX. Площади
§ 58. Равносоставленные многоугольники....... 186
§ 59. Измерение площадей многоугольников...... 192
§ 60 s Площадь круга................. 196
Глава X. Движение в пространстве
§ 61. Отражение от плоскости............ 198
§ 62. Повороты в пространстве............ 201
§ 63. Переносы в пространстве............ 205
§ 64. Движение с неподвижной точкой........ 208
§ 65. Движение произвольного вида в пространстве . . 209
§ 66. Отражение от точки в пространстве....... 212
Глава XI. Многогранники
§ 67. Общие свойства многогранников........ 214
§ 68. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников . . 219
§ 69. Правильные многогранники........... 223
§ 70. Построение правильных многогранников .... 224
