Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
нием точки M вокруг прямой t (черт. 218). Очевидно, что указанная окружность полностью определена точкой M и прямой t.
Пусть дана фигура F1 лежащая в полуплоскости, ограниченной прямой t. Фигура Ф, являющаяся со- Черт. 218 вокупностью окружностей, образованных вращением каждой точки фигуры F вокруг прямой t, называется фигурой вращения. Будем говорить, что фигура Ф образована вращением фигуры F вокруг прямой t (черт. 219).
Можно рассматривать более сложный случай, когда фигура F имеет точки, принадлежащие разным полуплоскостям, ограниченным прямой t. В нашем изложении мы всегда бу
249
дем считать, что фигура, от вращения которой вокруг прямой t образуется фигура Ф, принадлежит вся одной полуплоскости, ограниченной прямой t.
Черт. 219 Черт. 220
Фигура Ф отображается сама в себя при повороте вокруг прямой t на любой угол, так как при этом сама в себя отображается каждая окружность вращения, принадлежащая данной фигуре. Следовательно, t — ось симметрии фигуры Ф. Любая плоскость а, проходящая через ось t, является, очевидно, плоскостью симметрии фигуры Ф.
Если F— многоугольник, то фигура вращения Ф называется телом вращения, образованным вращением этого многоугольника вокруг прямой t (черт. 220). Фигура вращения, образованная при этом контуром многоугольника F1 называется поверхностью тела вращения Ф.
Возьмем в полуплоскости, ограниченной прямой t, отрезок AB1 и из его концов опустим на прямую t перпендикуляры AC и SD. Рассмотрим полученный при этом много-
Черт 221
250
угольник ACDB (черт. 221). Этот многоугольник может оказаться прямоугольником (AB || t) или прямоугольным треугольником (А совпадает с С, т. е. А лежит на прямой t)t или прямоугольной трапецией (AB % t). При вращении данного многоугольника вокруг прямой t получим соответственно известные из школьного курса тела вращения: цилиндр, конус и усеченный конус. Фигура вращения, образованная при этом отрезком AB, называется боковой поверхностью соответствующего тела вращения. Будем ее называть также поверхностью, образованной при вращении отрезка AB вокруг оси /.
При помощи предельного перехода в школьном курсе определяется площадь боковой поверхности каждого из этих тел вращения и их объемы.
Если /— длина отрезка AB и Ra и Rb— расстояние его концов А и В от прямой то площадь боковой поверхности указанных тел вращения можно выразить следующей общей формулой:
S = Tz(Rb + Ra)L
Из нее при Ra = Rb получаем формулу площади боковой поверхности цилиндра, а при Ra = О — формулу площади боковой поверхности конуса.
С d
Черт. 222
Данная формула при AB j_ t дает площадь кольца, образованного при вращении отрезка AB (черт. 222). Действительно, в этом случае I = R0 — Ra, и мы получаем:
S = 7:(Rb + Ra) (Rb - Ra) = TT R\ - TT R\.
Если и — расстояние середины отрезка AB от прямой то и = г/2 (Rь + Ra). Следовательно,
S = /. 2 7г и.
Этим доказана следующая теорема.
251
Теорема. Площадь поверхности, образованной при вращении отрезка AB вокруг прямой t, равна произведению длины этого отрезка на длину окружности, образованной вращением его середины.
Формула объема усеченного конуса
V = ^-(R\ + R\ + RbRa)
определяет также объем цилиндра при Rb = Ra и объем конуса при Ra = 0.
Ниже мы будем пользоваться понятием принадлежности одной фигуры другой, определение которого дано в § 4.
Теорема. Объем конуса (цилиндра, усеченного конуса) больше объема всякого принадлежащего ему многогранника, но меньше объема всякого многогранника, которому принадлежит данный конус. Пусть Ф — данный конус. Рассмотрим
Черт. 223
пирамиду Ф' с той же высотой Я и с основанием, равновеликим основанию конуса (таковым может быть, например, квадрат, длина стороны которого равна }ЛВ, где В = тг R2— площадь основания конуса). Поместим конус и пирамиду в такое положение, чтобы их основания лежали в одной плоскости а, а вершины находились по одну сторону от этой плоскости (черт. 223). Тогда всякая плоскость, параллельная плоскости а и пересекающая одно из этих тел, будет пересекать и другое, причем сечения их будут равновелики. (Доказательство предоставляем читателю.)
Если Ф1— многогранник, вписанный в конус, то всякая плоскость, пересекающая его и параллельная плоскости а, пересекает также пирамиду Ф', причем площадь сечения
252
многогранника O1 будет всегда меньше площади соответствующего сечения пирамиды. Поэтому объем многогранника Фх меньше объема пирамиды Ф' (§ 76).
Если Ф2 — многогранник, которому принадлежит конус, то всякая плоскость, параллельная плоскости а и пересекающая пирамиду Ф', пересекает также многогранник Ф2, но теперь площадь сечения пирамиды будет меньше площади соответствующего сечения этого многогранника. Отсюда делаем вывод, что об. Ф2 > об. Ф'.
Так как объем пирамиды Ф' равен объему конуса, то этим теорема для конуса доказана. Подобным же образом теорема доказывается для цилиндра и усеченного конуса.
Справедлива ли аналогичная теорема для поверхностей многогранников, принадлежащих телу вращения? Оказывается нет. Более того, можно построить многогранник, принадлежащий телу вращения так, что все его вершины будут принадлежать поверхности этого тела, ребра сколь угодно малы, а площадь поверхности сколь угодно велика.
