Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с
Черт. 216
245
точку О и соединим ее с вершинами призматоида. После этого окажется, что призматоид представляет соединение пирамид, у которых точка О — общая вершина, а основаниями являются грани призматоида. Найдем объемы этих пирамид. Легко видеть, что
об. OAKF = 1 - S1, где S1 - пл. AKF9
и
об. OEBCD = 1.-а S29 где S2 — пл. EBCD.
Если среди оставшихся пирамид существуют четырехугольные, то разобьем каждую из них плоскостью, проходящей через вершину О и диагональ основания, на две треугольные пирамиды. Например, пирамида OABEK разбита на треугольные пирамиды OABK и OBEК. Тогда все остальные пирамиды окажутся тетраэдрами с общей вершиной О.
Найдем объем каждого из этих тетраэдров. Например, объем тетраэдра О А ВС:
об. OABC = 1 H' пл. ABC,
где Я' — высота данного тетраэдра, проведенная из вершины О.
Среднее сечение призматоида пересекает грань ABC по отрезку QM9 который является средней линией Д ABC
Имеем: QM И ВС. Тогда пл. ABC = 4 пл. AQM. Отсюда:
об. OABC = 4 .1H' пл. AQM = 4 об. ОAMQ. Примем в тетраэдре OAQM грань OMQ за основание. Тогда об. OAMQ = 1 - у . пл. OQM.
4
Следовательно, об. OABC = у Я • пл. 0Q7W. Совершенно также найдем, что
об. OABK = ІН -пл. OQN,
об. OBEK = 1 H • пл. OPiV и т. д. о
Найдем сумму объемов этих пирамид:
об. OABC + об. OABK + об. OBKE + ... =
246
= (пл. OQM + пл. OQW + пл. ONP + ...) = -^- • S',
так как сумма площадей треугольников OQM, OQN, ONP и т. д. дает площадь среднего сечения призматоида.
Суммируя объемы всех пирамид, на которые оказался разбитым призматоид, получим объем последнего:
V = IS1 + IS2 + Щ- S' = ? (S1 + S2 + 4S').
Если одно из оснований призматоида вырождается в отрезок, то полученный при этом многогранник назовем клином. Очевидно, объем клина мы можем найти по формуле объема призматоида, но в ней площадь одного из оснований равна нулю.
Пример. Найти объем клина с прямоугольным основанием, размеры которого показаны на чертеже 217.
Черт. 217
Вычисления дают:
S1 = ab, S2 = О,
q,_ а Ъ 4- с
Ь - Т~2~-
У=ЦаЬ + 4% . b-p) = ^(2ab + ac)f
где H — высота клина (расстояние от отрезка KL до плоскости основания A BCD).
Всякую призму мы можем рассматривать как частный случай призматоида. В этом случае S1 = S2 = S' = S — площадь основания призмы. Для объема призмы получаем формулу:
V = у (S + S + 4 5) = HS.
247
Итак, объем любой призмы (а не только прямой) равен произведению площади основания на высоту.
Легко получить формулу объема усеченной пирамиды, рассматривая ее как призматоид. В этом случае основания и среднее сечение призматоида представляют подобные многоугольники. Пусть CL1, O2 и а' — их сходственные стороны. Так как боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями, то
, _ Ci1 + q2 а - 2 .
По теореме об отношении площадей подобных многоугольников имеем:
Si _ fli2 w S2 _ л22 S' /п,-ипА2 S-
ai + <h\ «ь CL1+ а.
Отсюда: Находим S
VS1- 2аг VS2 _ 2а2
VS' Ci1-^a2 у sr 01 + 02
|[ , Vs^ Vs' ^ Vs'
Vs1 + ys± = 2. = Vs1^Vs2
о, S1 + S2 + 2 VS1S2
6 =-4--
По формуле объема призматоида получаем: H
V =
S1+S, +(S1+ S, +2 1^S1S2)] = = у (Si+ S,+ 1^??.
Отметим в заключение следующие следствия из теоремы об объеме призматоида.
Следствие 1. Если два многогранника могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая один из многогранников, пересекает также и другой и если при этом в сечении образуются всегда равновеликие фигуры, то объемы таких многогранников равны (принцип Кавальєри для многогранников).
Пусть даны два таких многогранника F и F' и пусть а — данная плоскость. Через все вершины обоих многогранников проведем плоскости, параллельные плоскости а. Тог-
248
да оба многогранника разобьются на одно и то же число призматоидов с равными высотами, равновеликими основаниями и равновеликими средними сечениями. Значит, оба многогранника FhF' разобьются на одинаковое число попарно равновеликих призматоидов. Отсюда следует равновеликость многогранников FhF'.
Следствие 2. Пусть имеем два многогранника F и F' и плоскость а, и пусть каждая плоскость о, пересекающая многогранник F и параллельная плоскости <х, пересекает также и многогранник F'. Если при этом площадь сечения многогранника F всегда меньше площади соответствующего сечения многогранника F', то об. F < об. F'.
Действительно, в этом случае плоскости, параллельные плоскости а и проходящие через все вершины данных многогранников, разобьют их на неравновеликие призматоиды: каждому призматоиду многогранника F будет соответствовать призматоид многогранника F' с той же высотой, но большего объема. Отсюда следует, что об. F < об. F'.
ГЛАВА XIII
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ § 77. Цилиндр, конус и усеченный конус
Окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной к прямой I1 имеющую центр на этой прямой и проходящую через точку M1 будем называть окружностью, образованной враще- ^
