Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
?
Черт. 212
ми — отрезки высоты пирамиды PA1 примыкающие к этим сечениям. Если эти отрезки примыкают к сечениям со сторонами основания ABCD1 то получим многогранник F111 составленный из призм Q1, Q2, Qn-1 (черт. 211). Если же они примыкают к сечениям со стороны вершин P1 то получим многогранник Фп1 составленный из тех же призм Q1,
п гл PA
Q2,..., Qnсдвинутых на расстояние-^— к вершине, и
прямой призмы Qn с основанием ABCD и боковым ребром AAn — ! (черт. 212). При этом многогранник Fn является частью данной пирамиды, а последняя — частью многогранника Фп. Отсюда:
об. Fn ^ V об. Фп1
где V — объем данной пирамиды. Введем обозначения: H — высота пирамиды PA; S11 S2, ...,Sn^11 Sn=S— площади соответствующих сечений и площадь основания пирамиды.
Известно, что площади сечений пирамиды параллельными плоскостями относятся как квадраты их расстояний от ее вершины.
241
Поэтому:
_ (tt-l)2 g
Найдем сумму площадей сечений и площади основания:
^ + ^ + ... + s^i + s^-l-ci2 + ^ + ... + ^).
Известно, что
12 _|_ 22 + + п2 = п^п+ 1H2" + *)
Поэтому:
S1 + S2 + ... + Sn= (" + ^2- + 1) s.
Умножая обе части последнего равенства на —, получим:
об. Q1 + 06.Q2 + ... + об. Qn = (n + 1g + 1) HS.
Значит:
об.Ф„ = fr+*>ff + *> я&
Чтобы получить об.F„ = об. Q1 + об. Q2 +... + об. Q„_!, достаточно в выражении для I2 + 22 + ... + п2 заменить п через п—1. Получим при этом:
1' + 2' + ... + (я-1)« = с-цу2"-1) , 06.Fn= (Ц-1)(2гс-1) я&
242
После несложных преобразований получим:
<*'--?-(•-4)(*-4)
об. Ф„
HS
1 + ^-
п
*+4
При неограниченном возрастании л, как видно из полученных выражений, об. Fn растет, а об. Фп убывает, причем:
HS
Hm об. Fn = Hm об. Фп =
1-2 =
HS
Так как при любом п
об. Fn<V < об. Фл,
то
Hm об. FnKV < Hm об. Фп
Окончательно получим:
HS
Замечание. При данном доказательстве существенно, что основание пирамиды является выпуклым многоугольником. Действительно, при этом условии боковые ребра пирамиды, за исключением ребра PA1 при ортогональном проектировании на плоскость основания будут проектироваться в стороны или диагонали основания, выходящие из вершины А. Отсюда легко сделать вывод, что проекция каждого сечения на нижележащее является частью последнего и поэтому каждая призма многогранника Fn полностью принадлежит пирамиде. В случае невыпуклого основания это может и не иметь места.
Черт. 213
Черт. 214
243
Рассмотрим теперь треугольную пирамиду PABC1 у которой все боковые ребра не перпендикулярны основанию. Возможны три случая:
а) основание О высоты пирамиды PO лежит внутри треугольника ABC или на его стороне (черт. 213);
б) основание О этой высоты лежит вне Л ABC1 но внутри одного из внутренних углов его или на стороне этого угла (черт. 214);
в) основание О лежит внутри P угла, являющегося вертикаль-
ным с одним из углов тре-J—9 угольника (черт. 215).
) Основываясь на рассмотренном J выше частном случае теоремы, I легко в каждом из этих трех слу-/ чаев доказать, что объем треугольной пирамиды PAВС равен Черт. 215 одной трети произведения пло-
щади основания ее на высоту. Рассмотрим, например, случай в). Пирамида POBC состоит из данной пирамиды PABC и пирамид POAB и POAC Поэтому:
об. POBC = об. PABC + об. POAB + об. POAC1
или
i- PO • пл. OBC = об. PABC + у PO . пл. OAB + + i- PO • пл. OAC
Отсюда:
об. PABC = у PO (пл. OBC — пл. OAB —
— пл. OAC) = у PO - пл. ЛВС.
Итак, теорема справедлива для любой треугольной пирамиды.
Рассмотрим наконец произвольную пирамиду PABCDE1 основанием которой является многоугольник ABCDE.
Разложим основание пирамиды каким-либо способом на треугольники (о возможности чего было сказано в § 58). Пусть это будут треугольники Лі, A2 ,••¦,A^ Данная пирамида разлагается на треугольные пирамиды с общей вершиной Рис основаниями Ли Дг> •••> Ak- Пусть H — общая
244
высота всех этих пирамид. Тогда объем данной пирамиды будет равен сумме объемов указанных треугольных пирамид:
об. PABCDE=^ H пл. Ді + у Я пл. A2 + + + у Я пл. А* = у Н (пл* Ai + пл. A2 + ••• +
+ пл. Ak) = у HS9
где S — площадь основания пирамиды. Итак, теорема полностью доказана.
§ 76. Объем призматоида
Призматоидом называется выпуклый многогранник, две грани которого, называемые основаниями, расположены в параллельных плоскостях, а все остальные грани представляют четырехугольники или треугольники, вершинами которых служат вершины оснований. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой призматоида.
Теорема. Объем призматоида выражается формулой:
V= ^ (S1 +S2 + 4S'),
где Я — высота призматоида, S1 и S2 — площади оснований, S' — площадь среднего сечения призматоида (т. е. сечения призматоида плоскостью, параллельной основаниям его и расположенной от них на равных расстояниях).
Доказательство. Пусть многоугольники A KF и EBCD —основания призматоида, а многоугольник PQML — его среднее сечение (черт. 216). Возьмем на среднем сечении