Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 72

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая


?

Черт. 212

ми — отрезки высоты пирамиды PA1 примыкающие к этим сечениям. Если эти отрезки примыкают к сечениям со сторонами основания ABCD1 то получим многогранник F111 составленный из призм Q1, Q2, Qn-1 (черт. 211). Если же они примыкают к сечениям со стороны вершин P1 то получим многогранник Фп1 составленный из тех же призм Q1,

п гл PA

Q2,..., Qnсдвинутых на расстояние-^— к вершине, и

прямой призмы Qn с основанием ABCD и боковым ребром AAn — ! (черт. 212). При этом многогранник Fn является частью данной пирамиды, а последняя — частью многогранника Фп. Отсюда:

об. Fn ^ V об. Фп1

где V — объем данной пирамиды. Введем обозначения: H — высота пирамиды PA; S11 S2, ...,Sn^11 Sn=S— площади соответствующих сечений и площадь основания пирамиды.

Известно, что площади сечений пирамиды параллельными плоскостями относятся как квадраты их расстояний от ее вершины.

241

Поэтому:

_ (tt-l)2 g

Найдем сумму площадей сечений и площади основания:

^ + ^ + ... + s^i + s^-l-ci2 + ^ + ... + ^).

Известно, что

12 _|_ 22 + + п2 = п^п+ 1H2" + *)

Поэтому:

S1 + S2 + ... + Sn= (" + ^2- + 1) s.

Умножая обе части последнего равенства на —, получим:

об. Q1 + 06.Q2 + ... + об. Qn = (n + 1g + 1) HS.

Значит:

об.Ф„ = fr+*>ff + *> я&

Чтобы получить об.F„ = об. Q1 + об. Q2 +... + об. Q„_!, достаточно в выражении для I2 + 22 + ... + п2 заменить п через п—1. Получим при этом:

1' + 2' + ... + (я-1)« = с-цу2"-1) , 06.Fn= (Ц-1)(2гс-1) я&

242

После несложных преобразований получим:

<*'--?-(•-4)(*-4)

об. Ф„

HS

1 + ^-

п

*+4

При неограниченном возрастании л, как видно из полученных выражений, об. Fn растет, а об. Фп убывает, причем:

HS

Hm об. Fn = Hm об. Фп =

1-2 =

HS

Так как при любом п

об. Fn<V < об. Фл,

то

Hm об. FnKV < Hm об. Фп

Окончательно получим:

HS

Замечание. При данном доказательстве существенно, что основание пирамиды является выпуклым многоугольником. Действительно, при этом условии боковые ребра пирамиды, за исключением ребра PA1 при ортогональном проектировании на плоскость основания будут проектироваться в стороны или диагонали основания, выходящие из вершины А. Отсюда легко сделать вывод, что проекция каждого сечения на нижележащее является частью последнего и поэтому каждая призма многогранника Fn полностью принадлежит пирамиде. В случае невыпуклого основания это может и не иметь места.

Черт. 213

Черт. 214

243

Рассмотрим теперь треугольную пирамиду PABC1 у которой все боковые ребра не перпендикулярны основанию. Возможны три случая:

а) основание О высоты пирамиды PO лежит внутри треугольника ABC или на его стороне (черт. 213);

б) основание О этой высоты лежит вне Л ABC1 но внутри одного из внутренних углов его или на стороне этого угла (черт. 214);

в) основание О лежит внутри P угла, являющегося вертикаль-

ным с одним из углов тре-J—9 угольника (черт. 215).

) Основываясь на рассмотренном J выше частном случае теоремы, I легко в каждом из этих трех слу-/ чаев доказать, что объем треугольной пирамиды PAВС равен Черт. 215 одной трети произведения пло-

щади основания ее на высоту. Рассмотрим, например, случай в). Пирамида POBC состоит из данной пирамиды PABC и пирамид POAB и POAC Поэтому:

об. POBC = об. PABC + об. POAB + об. POAC1

или

i- PO • пл. OBC = об. PABC + у PO . пл. OAB + + i- PO • пл. OAC

Отсюда:

об. PABC = у PO (пл. OBC — пл. OAB —

— пл. OAC) = у PO - пл. ЛВС.

Итак, теорема справедлива для любой треугольной пирамиды.

Рассмотрим наконец произвольную пирамиду PABCDE1 основанием которой является многоугольник ABCDE.

Разложим основание пирамиды каким-либо способом на треугольники (о возможности чего было сказано в § 58). Пусть это будут треугольники Лі, A2 ,••¦,A^ Данная пирамида разлагается на треугольные пирамиды с общей вершиной Рис основаниями Ли Дг> •••> Ak- Пусть H — общая

244

высота всех этих пирамид. Тогда объем данной пирамиды будет равен сумме объемов указанных треугольных пирамид:

об. PABCDE=^ H пл. Ді + у Я пл. A2 + + + у Я пл. А* = у Н (пл* Ai + пл. A2 + ••• +

+ пл. Ak) = у HS9

где S — площадь основания пирамиды. Итак, теорема полностью доказана.

§ 76. Объем призматоида

Призматоидом называется выпуклый многогранник, две грани которого, называемые основаниями, расположены в параллельных плоскостях, а все остальные грани представляют четырехугольники или треугольники, вершинами которых служат вершины оснований. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой призматоида.

Теорема. Объем призматоида выражается формулой:

V= ^ (S1 +S2 + 4S'),

где Я — высота призматоида, S1 и S2 — площади оснований, S' — площадь среднего сечения призматоида (т. е. сечения призматоида плоскостью, параллельной основаниям его и расположенной от них на равных расстояниях).

Доказательство. Пусть многоугольники A KF и EBCD —основания призматоида, а многоугольник PQML — его среднее сечение (черт. 216). Возьмем на среднем сечении
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed