Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем пример, принадлежащий Шварцу.
Рассмотрим цилиндр с высотой H и радиусом основания R. Разделим высоту цилиндра на т равных частей и через точки деления проведем
плоскости, параллельные основанию цилиндра. Основания цилиндра и каждую окружность, полученную при пересечении поверхности цилиндра с указанной плоскостью, разделим на 2 п равных частей так, чтобы точки деления их находились на прямых, параллельных оси цилиндра, т. е. на его образующих (черт. 224). Перенумеруем эти образующие по порядку, принимая в качестве первой какую-либо из них. Ближайшие между собой образующие будут зануме-
рованы соседними нату- 8 /
ральными числами. Исключением при этом являются ЧеРт- 224
253
соседние образующие, занумерованные числами 1 и 2/г. Указанные точки деления каждой окружности будем называть «четными» и «нечетными», в зависимости от номеров соответствующих им образующих.
Пользуясь данными точками деления, впишем в каждую окружность правильный /г-угольник так, чтобы вершинами его в соседних сечениях являлись точки деления разной четности. Если, например, в верхнем основании взять в качестве вершин «нечетные» точки деления, то в первом сечении сверху таковыми будут «четные» точки, во втором сечении сверху — «нечетные» и т. д. Соединим, далее, между собой те вершины соседних многоугольников, которые расположены на соседних образующих. Вершина с номером і какого-либо многоугольника будет соединена с вершинами соседних многоугольников, имеющих номера і — 1 и і + 1.
Совокупность образовавшихся при этом треугольников представляет многогранную поверхность, вписанную в данный цилиндр. Найдем площадь этой поверхности.
Пусть ABM — одна из граней рассматриваемой поверхности, причем AB — хорда окружности сечения. Через середину С хорды AB проведем радиус OD сечения и соединим точку M с точками CnD.
Так как ^ AOB представляет -^- часть полного угла,
то AB = 2R sin -^-.
Находим, далее, высоту MC треугольника МАВ:
MC = V MD2 + CD2.
Но
MD = —, CD = OD - ОС = R ( 1 — cos —) =
т у п j
= ЗД81п»-^.
Отсюда:
мс= у.
гф 1 п 9
пл. ABM = •J AB-MC = R sin-J. ]/_^_ jl ^sin4-^ .
Многогранная поверхность состоит из 2тп таких треугольников. Поэтому площадь S (т, п) ее равна:
254
Данное выражение можно переписать так:
Пусть тип неограниченно возрастают. Как известно,
Поэтому
і. sin л; ї
lim--= 1.
x -> о х
TZ
sin— sin"2^
lim-=1 и lim-= 1.
TZ TZ
П -> оо - п -> оо -
/г 2/г
Существование предела S (т, я) существенно зависит от способа стремления т и п к бесконечности. Рассмотрим отдельные случаи:
1) /п = рп (р = const);
Hm "5=0; lim S (т, п) = 2тт RH.
п -» оо /г -> оо
2) Hm = р (р ФО);
lira 5 (т, я) = 2 и /?Я ]/1+-?^.
/г -> со * 4"
3) т = /г3;
Hm -^- = оо; Hm S (/72,/г) = оо.
оо П-+оо
Таким образом, S (т, п) имеет пределом принятое для площади боковой поверхности цилиндра значение 2kRH при неограниченном возрастании чисел тип тогда и только тогда, когда
Hm 4=0.
т -> оо
255
Рассмотрим, что происходит при этом с углом ср = ^lMGD.
CD
Ctg ср =
MD
2R . 2 г.
—ту- • т sin2 — h п
Отсюда:
ml sm'n
ctg? = —--jd
lim ctg<p - ¦ lim (-J-) • і
»-»•oo
.UmI вШ"»
/г
= 0.
Это означает, что угол ср стремится к прямому углу, т. е. плоскость Л AMB стремится стать параллельной оси цилиндра.
§ 78. Площади поверхностей вращения
Возьмем в качестве фигуры F простую ломаную линию ABC...KL (черт. 225). Найдем площадь поверхности Ф, полученной при вращении этой ломаной вокруг прямой t. По доказанной в § 77 теореме:
s
у/
У
У
h \
а
i
Черт. 225
Черт. 226
256
пл. Ф = I1 • 2 тт U1 + /2 • 2 тс + ... + /л • 2 тт ^72,
где Z1, /2, In— длины сторон AB9 SC,..., KL9 а а2, Un— расстояния их середин до прямой t.
Преобразуем выражения для площади Ф. Пусть / — периметр ломаной:
I = к + к + - + In-
Тогда:
пл.Ф^/.гтг^ + ^2 + - + ^,
или
пл. Ф = / • 2 Tz и9 (1)
где
и = 1^i + к^ч + ... 4- /яия (2)
Если стороны ломаной представлять как однородные стержни одинаковой плотности, то середины сторон являются их центрами тяжести, а и — расстояние центра тяжести всей ломаной от прямой t. (Доказательство этого предложения дается в курсе механики.) Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема. (Первая теорема Гюльдена.) Площадь поверхности, образованной при вращении ломаной вокруг прямой t, равна произведению периметра ломаной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Доказанной теоремой удобно пользоваться для определения площади поверхности вращения в случае, когда известно расстояние центра тяжести ломаной от прямой t> В связи с этим отметим следующие важные частные случаи:
1. Если ломаная F имеет ось симметрии s, параллельную прямой t, то расстояние между прямыми s и t равно расстоянию центра тяжести ломаной от прямой t (т. е. центр тяжести ломаной лежит на ее оси симметрии).
