Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример такой ломаной дан на чертеже 226. Для нее имеем:
Iq = I1, /5 = /2» к = ^3»
и
U1 + _ U2 + U5 _ U3+ U± _ _
9 — о — о —U7-U9
257
где а — расстояние мех-еду прямыми s и /. Отсюда:
_ ixu1 +i2u2 + ... + /7Ц?_ Іі(иі+иь)+12(и2 + иь)+ІЖиз+иА) + i1u1 и- / - =
__ i1 -2а + /а ¦ -2g + i3. 2а + /7 . а
Черт. 227
2. Если ломаная имеет центр симметрии, то ее центр тяжести совпадает с центром симметрии.
Справедливость данного предложения установим тоже для частного случая. Рассмотрим ломаную, изображенную на чертеже 227. Середина S4 ее средней стороны является центром симметрии ломаной. Поэтому
u1 + u1 _ u2+ u6 __ u3+ u5
И
Отсюда:
i1u^t2u2 + ... + i1u1 _ i1(u1+ u1) + i2(u2 + uq) +i3(u3+u5) + i4uj1 „
u--j - / - и1-
Поворачивая ломаную вокруг ее центра симметрии S4, мы не изменим расстояния центра тяжести ломаной от прямой t. Отсюда следует, что S4 — центр тяжести ломаной.
Рассмотрим теперь более сложную поверхность вращения Ф, когда в качестве образующей фигуры/7 взята дуга AB окружности. Впишем в дугу AB правильную ломаную AA1A2...An^1B. Предел периметра ломаной при неограниченном возрастании числа ее сторон дает длину дуги (§ 57). Покажем, что существует также предел площади поверхности ФЛ, образованной при вращении этой ломаной вокруг той же прямой t. Этот предел назовем величиной площади поверхности Ф, т. е. примем следующее определение.
Площадью поверхности вращения, образованной при вращении дуги окружности вокруг прямой, называется предел плоищди поверхности вращгния, образованной правильной ломаной, вписанной в данную дугу, при неограниченном возрастании числа сторон этой ломаной'.
258
пл. Ф= Hm ф
/2->оо »'
Рассмотрим сначала случай, когда прямая s, параллельная прямой t и проходящая через центр окружности, которой принадлежит дуга AB, не пересекает эту дугу. Допустим также при этом, что дуга располагается вся в полуплоскости, ограниченной прямой s и не содержащей прямую t (черт. 228). Рассмотрим сторону ломаной A1^1A1. Опустим
Черт. 228 Черт 229
из концов ее и из середины S1 перпендикуляры на прямую s, основания которых обозначим соответственно через Л'^1, Л/ и S't. Концы этой стороны и ее середину соединим с центром окружности О, а из конца A1 опустим перпендикуляр A1M на прямую A1 _ гА\ _ v Из подобия треугольников OS1S'і и A1^1MA1 получаем:
SiS'і = A1M OS1 Аі-гАГ
Обозначим сторону ломаной через ап, а ее апофему — через kn. Тогда
OS1 = kny A1^1A1 = апи A1M = А\^А\.
Отсюда получим:
S1S' = Л'.-И'
11 1 1 1 cln
259
Очевидно, что полученная формула для отрезка S1S^ остается справедливой и в том случае, когда A1^1A1 \\ t. (В этом случае А\^гА\ = A1^1A1 = ал, StS\ = kn.)
Расстояние центра тяжестиЯ; отрезка A1^1A1 от прямой / будет:
u^c+Sfi't-c + A'^A't.b,
где с — расстояние между прямыми s и t.
Расстояние центра тяжести ломаной от прямой t:
(Л) = U1O1 4 U2U2 4 ... 4- UnCLn U1 4 U2 + ... + Un =
пал п
= с + ШГп (A'A'i + + ... + А'. - ,В )=с + Ь. А'В'. Полагая AB' = h и паЛ = окончательно получим:
kn
pn 1
Uin) = c + knht
Так как
lim рп = I (где I — длина дуги AB)
Mm kn = R (R — радиус окружности),
П -*~ оо
ТО
Hm
П -> оо /
Если дуга AB будет расположена вся в полосе, заключенной между прямыми t и s (черт. 229), то
В этом случае
Il I 1 I Qn
da
И
Hm = c—hR_t
П -> оо /
Из рассмотренных выше случаев следует, что если дуга AB расположена по обе стороны прямой s, слагаемое A'^1A1 должно быть взято со знаком плюс, если середина хорды A1^1A1 не лежит в полосе между прямыми t и s, и со знаком минус — в противоположном случае.
260
Поэтому в общем случае:
и<«> = с + h ^
~~ pn
И
Hm а<л> = с ± Zz д
п -> оо /
Выражение
« = с±/4 (3)
определяет расстояние центра тяжести дуги AB от прямой t\ проекция h хорды AB на прямую t берется со знаком плюс, если трапеция AA'В'В не содержит внутренних точек дуги AB (черт. 230), и со знаком минус — в противоположном случае (черт. 231).
Черт. 230 Черт. 231
Найдем теперь площадь поверхности Ф. По формуле (1): пл. Фп = рп • 2 тс
Поэтому
пл. Ф= lim ™'фп= Hm (Pn-2пиЮ).
п оо /г —> оо
Отсюда:
пл. Ф = /-2:: а. (4)
Площадь поверхности, образованной при вращении дуги окружности вокруг прямой, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
261
Подставляя в полученную формулу значение и, получим: пл. Ф = 2 (el ± fiR). (5)
Частные случаи:
1) с = О, h = 2R (черт. 232)
пл. Ф = 4 TZ R2 — площадь поверхности шара;
2) фигура F представляет окружность (черт. 233). В этом случае А = 0и I = 2 tz R.
пл. Ф = 4 7z2cL
Черт. 232 Черт. 233
Тело вращения, полученное при вращении круга вокруг прямой, называется тором. В примере 2, следовательно, нами найдена площадь поверхности тора.
§ 79. Объем тел вращения
