Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отнесем Л ABC к прямоугольной системе координат и будем считать, что он расположен в первой четверти (черт. 234). Проекции вершин его на ось у обозначим соответственно через A01 B0 и C0. Координаты вершин А, В и С обозначим при помощи индексов 1, 2 и 3 сооїветственно.
Рассмотрим тело, полученное при вращении Л ABC вокруг оси у. При данном на чертеже расположении вершин треугольника объем V этого тела равен разности между объемом усеченного конуса, полученного при вращении прямоугольной трапеции AA0C0C и суммой объемов усеченных
262
конусов, полученных при вращении трапеций AA0B0B и BB0C0C Найдем его:
V = — #з)(Л+*2з+*Л) — у(#і—й)(Л+Л+*1*2)-
— ¦J (Л — Уг)(Л + х% + X9X3).
Полученное для V выражение преобразуется следующим образом:
V=T,. *1+з2+*3 • [r/i-X2) + у2(хг-X3) + у3(х2-X1)]. Как известно, выражение
S = у| Ыхг — х2) + У*(Х! — х3) + у3(х2 — хх)]\ является площадью Л ABC, а выражение
х2~\~ Х3
с(Хз,уз)
и =
O
является расстоянием центра тяжести Л ABC (т. е. точки пересечения медиан треугольника) от оси у.
Таким образом, объем V данного тела вращения равен:
V = S- 2хи.
Объем тела, полученного при вращении Л ABC вокруг прямой, равен произведению площади этого треугольника на длину окружности, описанной его центром тяжести.
Пусть теперь нам дан многоугольник/7. Разобьем его на треугольники F1, F2, ...,Fn. Площадь треугольника F1 и расстояние его центра тяжести от оси у обозначим соответственно через S1 и иь.
Объем тела Ф, полученного при вращении многоугольника F вокруг оси у, равен сумме объемов тел, полученных при вращении треугольников F1. Следовательно,
об. Ф = S1 . 2 тс u1 + S2 . 2 тт и2 + ... + Sn Как известно из механики, выражение
_ SiKi + S2^2 + ... + SnUn
Черт. 234
2 тс un.
263
где S = S1 + S24- ... + Sn — площадь многоугольника F, является расстоянием центра тяжести этого многоугольника от оси у и поэтому не зависит от способа разбиения его на треугольники. Отсюда получаем:
об. Ф = S • 2 ті и, (6)
т. е. объем тела Ф, полученного при вращении многоугольника F вокруг прямой, равен произведению площади этого многоугольника на длину окружности, описанной его центром тяжести (вторая теорема Гюльдена).
Как и в § 78, отметим следующие частные случаи, когда известно расстояние центра тяжести многоугольника от прямой, вокруг которой происходит вращение.
1. Если многоугольник F имеет ось симметрии t, параллельную прямой у (черт. 235), то расстояние между прямыми t и у равно расстоянию центра тяжести многоугольника от прямой у (центр тяжести многоугольника лежит на его оси симметрии). 2. Если многоугольник имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии (черт. 236).
264
Черт. 236
Справедливость данных предложений устанавливается совершенно так же, как аналогичных предложений для ломаной.
Возьмем теперь в качестве фигуры F сектор, лежащий с прямой у в одной плоскости и не пересекающий ее (черт. 237). Впишем в дугу AB сектора правильную ломаную AA1A2... An^1B (точка An совпадает с точкой В) и соединим вершины ее с центром сектора О.
Предел суммы площадей треугольников OA1^1A1 при неограниченном увеличении числа дает площадь сектора F:
ломаной
S = пл. F = Hm H пл. OA1 _ г A1.
П -+ oo L = I
Так как треугольники OA1^1A1 равны между собой, то S = Hm (n . пл. OA^1A1).
По второй теореме Гюльдена объем V1 тела, полученного при вращении вокруг прямой у треугольника OA^1A1, равен:
V1 = пл. OA1^1A1 -2 nul9
где щ — расстояние центра тяжести этого треугольника от оси у. Рассмотрим сумму таких объемов:
yd) = E у = E пл. OAA1 - 2 Tz щ.
Отсюда:
V<n> =2*. пл. OA1^1A1(u1 + и2+... +un)=2 тг (ft. пл. О A^1A1)X
v u1+ u2+... + un
Х п •
Возьмем дугу А 'В\ концентрическую с дугой AB и с радиусом OA' = 2J3 OA. Тогда u1 является расстоянием
265
центра тяжести хорды А' .^1A't, концы которой принадлежат дуге Л'?', от прямой у (при соответствующих обозначениях). Как выяснено в предыдущем параграфе,
Hm "1 + ? + - + «» =и
п
является расстоянием от оси у центра тяжести дуги А'В'. Этот предел определяет также расстояние центра тяжести сектора от прямой у. Отсюда:
Hm уw = 2тг Hm (п. пл. AO^1A1) Hm "і + "*+ = 2тг Su.
п-+оо п->оо п-> со
Данный предел примем за объем тела, полученного при вращении сектора F. Обозначая этот предел через V, имеем:
V = S-2ku. (7)
Объем тела, полученного при вращении кругового сектора вокруг прямой, равен произведению площади сектора на дли-ну окружности, описанной его центром тяжести.
По формуле 3 (§ 78):
R'
и = с ±hr —,
где с — расстояние центра О от прямой у, h' = A'QB'Q— проекция хорды А'В' на прямую у, a R' = OA' и V — радиус
2
дуги А'В' и ее длина. Так как R' = -g-R, где R = OA, то 2
h' = -g- h, где h = A0B0 — проекция хорды AB на пря-2
мую у, и V = -^-1, где / — длина дуги AB. Отсюда:
, 2hR
u = c +
- 31 '
Подставляя найденное значение для и в выражение объ-
