Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы особо хотим поблагодарить профессора МГУ 10. А. Казьмина, доцентов А. В. Михалева п 10. В. Нестеренко за полезное обсуждение условий п решений ряда- задач, участника п победителя многих олимпиад сту-депта мечанико-математического факультета МГУ С. Ко-иягпна, с которым обсуждался замысел сборника.
В. Л. Садовничий, А. С. Подколзип
Глав а 1
СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ В ВУЗАХ (I ТУР)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Графики
1. (МТИЛП, 1977 г.) Построить график функции
I/ = lim sin-"?.
2. (МАИ, 1976 г.) Нарисовать график функции
Щ" —(='D *+cos X)
1{х)=е
3. (MAMI1, 1977 г.) Построить график функции
/(*) =
*1 при z=jt=Q,
\\ при х = 0.
4. (МНИХ, 1977 г.) Построить график функции
I- т и = ни -.
а—^-то 1 х — е
5. (МЭСП, 1975 г.) Построить график функции
у = lim /1 + х" + (х-/2)'\
(МИПГАиК, 1977 г.) Построить график функции
х2
у~ \*\W*'
7. (СТАНКИН, 1977 г.) Построить график функции
у = cos (2nrccosx).
8. (МНИТ, 1977 г.) Построить график функции
у = tg (3arctgx),
0. (МАМІЇВ 1975 г.) Построить график функции у = 1іт(х—\)ймсХцхп,
П-УОО
10. (СТЛНКИН, 1977 г.) Показать, что функция V = ^1 + возрастает при х>0, и построить (при х>0). ее график.
11. (МИНХ, 1976 г.) Построить график функции
у = а* (*>0).
12. (МИИГЛ, 1976 г.) Построить график функции
«
/<5> = ]т-
dt.
13. (МЭИС, 1977 г.) Построить кривую, заданную уравнением
д;3 + і/3 — Зху — 0.
Многочлены
14. (МТсхнИ, 1976 г.) Доказать, что многочлен
р (х) = 1 ^ +-^г + • • • + "^Г пс 1ШСет кратных корней.
15. (МАМИ, 1975 г.) Найти мпогочлеп наименьшей степени^ принимающий максимальпое значение 6 при 1=1 п мннимальпое значение 2 при х — 3.
16. (МГП, 1977 г.) Каким условиям должны удовлетворять числа р, д, чтобы трехчлен хъ + рх + д обращался в нуль при трех различных действительных значениях аргумента .г?
17. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что всякий ненулевой многочлен с положительными коэффициентами, являющийся четной функцией, всюду вогнут и имеет только одну точку экстремума.
18. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что любой мпогочлеп нечетной степени п ^ 3 имеет хотя бы одну точку перегиба.
19. (СТЛНКИН, 1976 г.) Доказать, что пп для одпого мпогочлеиа р{х) с целыми коэффициентами не могут выполняться равенства р(7) = 5; р(15) = 9.
20". (МЛДИ, 1976 г.) Дан мпогочлеп р(х) = х" +' + й1х"~1 -)- ... + ап с целыми коэффициентами, причем
V
р(0) и р(1) суть целые нечетные числа. Доказать, что р(х) не имеет целых корней.
21. (МГПИ, 1976 г.) Пусть р(х)—целочисленный многочлен, принимающий значение, равное 5, в пяти целых точках. Доказать, что р(х) не имеет целых корней.
22. (МИЭТ, 1975 г.) Многочлен с целыми коэффициентами называется примитивным, если все его коэффициенты не имеют общего простого делителя. Доказать, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен.
23. (Мех.-мат., 1976 г.) Многочлен p(z) — z" + + a\Zn~l -f-... -f- fl„ с коэффициентами из поля Р называется линейно проводимым пад Р, если его можно представить в виде
p(z) = (Ьи2 + Ь1)(Сп2"-1 + ...) {ЬоФО),
где d, Ь, е Р. Найти вероятность qn того, что случайно выбранный полином р(z)п-ш степени над Z2 линейно приводим над Z2. Найти lim дп.
?г->оо
24. (МИСнС, 1977 г.) Каждому многочлену р ставится в соответствие число О(р) так, что
1) D(aipi + a.,p2) =aiD{p,) + u2D{p2)\
2) D(PlP2) =L»(p,)p2(l/2) +р.(1/2)0(р2),гдеК1,а2-произвольпые действительные числа.
а) Доказать, что D(p) =ер'(1/2) (с — константа).
б) Заменим в определении D многочлены р на любые функции /, пепрерывпые па отрезке [0, 1]. Доказать, что в этом случае D (/) =0 для всех таких /.
25. Пусть р(х)—многочлен степени п и р(а) ^ 0, р'{а) 0,..., р'"-" (а) ^ 0, р{п) (а) > 0. Доказать, что действительные корнп уравнения р(х) =0 пе превосходят а.
26. (МИСпС, 1975 г.) Доказать, что уравнение хп — р{х), где р(х) — многочлен (п— 1)-й степени с цо-ложптельпымп коэффициентами, имеет единственный положительный корень.
27. (МИПХпГП, 1976 г.) Доказать, что если все корпи многочлена р(х) = auxn -f- а\Хп~{ + • • • +ал с дейст-вительными коэффициентами действительны, то его последовательные производные р'(х), р"(х), р1п~и(х) гоже имеют лишь действительные корпи (ао^О).
28. Пусть многочлен р(х) имеет только действительные корни. Доказать, что если а — кратный корень р'(х), то р(а) = 0.
9
8
29. (МНЭМ, 1975 г.) Дано с0 -f Ц- -}-... + -^j = 0.
Доказать, что многочлен с0 + схх -f-... +спх" имеет хотя бы один действительный корень.
30. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что для всякой совокупности действительных чисел ао, ai,..., а„ и любой точки х = хо существу ет такой многочлен степени п, что ри) (х0) = a~(s = 0, 1, ..., п). Выразить коэффициенты этого многочлена через чпсла ая.
31. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть р\(х),...,р,(х)—
многочлены степенен пи ..., пг. Доказать, что если
I I ^ '(г—1) «1 + ... + пг <---, то многочлены р\,...,р, JH-
ueuuo зависимы.
32. (МНСпС, 1977 г.) Пусть р, (х),..., р„ (х) — многочлены степени не выше (и—1)-й. Доказать, что определитель Вронского для этих многочленов есть постоянная величина.
