Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
4nI (гс) = Rm (rc) Y? (%, Ф), (5.5)
а собственные значения образуют кулоновскую серию
CUA 7? ,г
?ыы= — -g-p-. (о.о)
Функции Rm{r) определены в п. 2 § 8, У?(ft, ф) — шаровые гармоники.
Поскольку спектр оператора HVA вырожден по / и пг, для применения теории возмущений вначале необходимо построить правильные функции нулевого приближения,
15*
227
на которых матрица оператора возмущения W диаго-нальна. Покажем, что матрица W^'im диагональяа на функциях объединенного атома ^иш(гс), если z0 определено условием (5.3). Оператор возмущения
W
\rc + Ri\
(5.7)
разлагается в ряд по полиномам Лежандра
W
Zi 2 (- 1У Rfc-^. (cos Ье), rc > IR11
s=0
Zi 2 (- Vf RT^tPs (cos Ьс), rc < IR,
s=0
Z2S /?|r7s_1Ps(cosdc), rc>|/?2
s=0
Z22 RT^rlP, (cos%), rc<|/?2
S=0
(5.8)
Коэффициент при й2Рх для rc>max{|/?i|, |#2|} равен —ZiRl-\-Z2R2 и обращается в нуль вследствие условия (5.4). Оценка всех получающихся интегралов с функциями (5.5) показывает, что матрица W диаго-нальна при R -»- О, т. е.
W;Nl'm' WNlm —
= \№т (r)W^m-{r)dV^blvbmm. №]2(1 + 0(Я2)).
(5.9)
Главный член [WJv/m] г Разложения диагонального матричного элемента W при 1ф0 определяется разложением W (5.8) для rc>max{|#i|, |#2|}, в котором интегрирование по г ведется от нуля,
№] 2 = - %R\ + ZiRt) fojlk (r)|2r-ve (cost>) dr = - ^1^2^ 1)(2/-1)(2/+ l)(2/ + 3) "
228
Вычисление [t^jvoob требует учета в разложении (5.8) какгв>тах{|д1|, |ВД,так и re<min{|*i|, \R2\}. Результат такого вычисления
[WNA=-2Z1ZiZ*-§? (5.11)
формально получается из равенства (5.10), если справа положить в нем т=0, а затем, сократив на /, взять /=0. Формулы (5.6), (5.10) определяют два первых члена
разложения энергии системы ZieZ2 при малых R
ENlm (Zu Z2> R) —
Z% 2ZlZ2[l(l + l)-3«'l . z R)2 , 0//Z mix
(5.12)
Вычисления энергии во втором порядке теории возмущений для произвольных зарядов и квантовых чисел не проводились. Для основного состояния системы Z\eZ\ с одинаковыми зарядами после громоздких выкладок получается следующее выражение для энергии во втором порядке теории возмущений:
?0сю (Zlf Zlf Я) = Z2 [- 1 + i(Ztf)2 - i (Ztf)3 +
+ - (Z/?)« - -1. (Z/?)» In ZR + ... ]. (5.13)
Разложение (5.13), полученное во втором порядке теории возмущений, очевидно, не является асимптотическим при малых ZR; первые три слагаемых в формуле (5.13) совпадают с асимптотическим разложением Е, однако в коэффициенты последующих членов асимптотического разложения вносят вклад высшие порядки теории возмущений. Весьма интересен сам факт появления логарифмических поправок, показывающих, что энергия не является аналитической функцией ZR.
При вычислениях в более высоких порядках теории возмущений естественно использовать функцию Грина кулоновекого поля (см., например, Базь и др., 1971, стр. 141).
2. Разложения у. к. с. ф. и р. к. с. ф., необходимые для анализа системы ZieZ2 при #~>0. Поведение решений задачи ZieZ2 при R-*-0 можно изучать с помощью соответствующих разложений у. к. с. ф. и р. к. с. ф.
229
Когда межцентровое расстояние стремится к нулю, а квантовые числа и заряды фиксированы, параметры р, a, b также стремятся к нулю
р= R(-2E)l'2/2-+0, (5.14)
a = (Z2 + Z1)/?-0, b = (Zt-ZJR-+0. (5.15)
r^-o r-*o
Введем обозначения
J_= ^±z,==_z^^a = a (5Л6)
2р V-2E }Г-2Е 4
Энергия выражается через параметр а по формуле ? = -Z2/(2a2). (5.18)
Из разложения (5.12) для энергии в первом порядке теории возмущений следует, что при фиксированных зарядах и квантовых числах а и р — величины порядка единицы, причем
a=N+0((ZR)2), N — целое, N^k+m+\.
Разность a—естественно назвать квантовым дефектом.
Для построения асимптотических разложений задачи Z\eZ2 при малых межцентровых расстояниях требуются следующие разложения у. к. с. ф. и р. к. с. ф. по малому параметру р:
Ет,(р,2рр; г,), р-0, т=0(1), ^7= 0(1), р = 0(1),
(5.19)
nmft(p,2pa;?), р-*0, т=0(1), /г = 0(1),
a = W + 0(p2), N>k + m + L (5.20)
Напомним, что при a=N р. к. с. ф. выражается через
полиномы $~%k~m~l(l) (п. 4 § 2).
Разложения (5.19), (5.20) в настоящее время известны лишь для основного состояния системы Z[eZ2 (k=iq—tn=0). Разложение (5.19) можно строить с помощью варианта теории возмущений, который применялся в § 4 гл. I для построения разложений в. у. с. ф. (с. у. с. ф.) при малых с (р). Для отыскания разложения (5.20) можно применять метод, которым в § 8 построена асимптотика ILmh(p, 0; |) при р->0.
230
3. Основное состояние системы ZxeZ2 при малых R.
Ряд для у. к. с. ф. Ноо(р, 2рр; ц) по степеням малого параметра р получается с помощью разложения по полиномам Лежандра методом, изложенным в § 4 гл. I. Соответствующая у. к.с.ф. представляется пятью первыми членами ряда по полиномам Лежандра.
Вычисления дают следующую формулу для собственного значения:
№(Р,Ш =
= (1 - Р2) [4 Р* - ТаТ Р* d + ПР2) + 0 (Р*)\ (5-21)
Для построения асимптотики Поо(Р, 2р(14-о); |) при р-*-0, о=0(р2) используется разложение Яффе (2.33)
По„(р> 2/7(1 4-о); ?) = e-rt (1 4- ?)«* = Т^Т-
(5.22)
s=0
