Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
?MS) = g(a,x-)-
00
- ? j Gx (a; x,x')v (а, р, х') U„ dx', х = р\. (7.20)
242
Функция Грина G„(a; х, х') имеет вид, аналогичный (7.14)
G.(a; х, x')=g(o,x')f(o, x)—g(a, x)f(a, x'), (7.21)
wx — вронскиан функций g(a, x), f(a, x), а потенциал v(a, p, x) определяется формулой
, . 1/4 +a2 1— m2 /т oo\
v (a, p, x) = - ,2(,2_p2) - (7-22)
Итерационный ряд для уравнения (7.20) UeB(l) = g(o,x) +
х
+ jr $Ga,(o;x,x')v(e,p,x')g(o,x')dx'+ ... (7.23)
сходится при х=р%>р, следовательно, нижней границей интервала 3)«,= [%«,, оо) может быть выбрано число, сколь угодно близкое к единице: ?«, = 1+0. Разлагая v (a, р, х) в ряд по степеням р
оо
v(a,p,x)= Ц vs(o,x)p2s, (7.24)
s=0
получаем из (7.23) ?/«,(?) в виде разложений по малому параметру р с коэффициентами, зависящими от х.
Построенные решения ?Л(?) и U»(|) должны быть линейно зависимыми в области перекрывания Ф\ .и iZL, т. е. при lo.<K|i, следовательно, должно выполняться равенство
?/i(S)=C?MS) (C=const) (7.25)
и равенство ему эквивалентное
</i'(&)*M&)-tfi(?)tf»G) = o. (7.26)
Введем переменную у
у = рЧ*\ = р-Ч*х
со следующей областью изменения
J,=0(1). (7.27)
В области (7.27) справедливы одновременно итерационные ряды для интегральных уравнений (7.13), (7.20). Перестроим итерационные ряды (7.15), (7.23) в области (7.27) так, чтобы они имели вид разложений по малому
16* 243
параметру р с коэффицентами, зависящими от у. Воспользовавшись асимптотикой функций Лежандра, асимптотикой интегралов в (7.15) при ?—>-оо и разложением функций Бесселя и интегралов в (7.23) при х—>-0, получаем в области (7.27) решения ^i(l). в одинаковом функциональном виде.
Приведем для краткости лишь главные члены разложений [/,(1), [/„(1)
Ui (I) =CiyU2 oos (a In у+ [Ф,] 0( 1 +о(р))), (7.28а)
?/» (1) = C.j,'A cos (a In j,+ [Ф.] о (1 +о(р))). (7.286)
Здесь Си С„ — константы, у=р'% а фазы [Ф1]о, [Ф»]о имеют вид
[ФА - ~ f 1" Р + о Ш 2 + arg г (|/ayg _ д), (7.29а)
[Ф-]в=у1пр-а1п2-аг0Г(1 + ia)-^-. (7.296)
Можно показать, что условие (7.26) эквивалентно равенству двух тангенсов
tg<D,=tg<D„, (7.30)
где фазы Фь Ф„, как функции параметров т, о, р определяются с помощью интегральных уравнений (7.13), (7.20) в виде разложений по малому параметру р. Поправочные члены в этих разложениях содержат не только степенные по р поправки, но также и поправки вида р' In р.
Из равенства (7.30) следует, что разность фаз А
Д=Ф,—Ф„ (7.31)
должна быть равна целому числу, умноженному на я
А = я/г, k — целое. (7.32)
Приведем два старших члена разложения А по параметру р в зависимости от т, р, а
Ат (р, о) = А^ (р, о) + Ат (а) In р + О [р% (7.33)
где
А°т = — о\пр 4-аса (а, т), (7.34)
244
to (a, m) = 2ln 2 + 1[2 arg Г (1 + to) —
-argr(i-+ia-mj]. (7.36)
При получении формул (7.33) — (7.35), для функций ^i(l)> использованы внеинтегральные члены и
первые итерации интегральных уравнений (7.13), (7.20), в которых оставлены два старших члена в области (7.27) при р-*-0. Выражения для логарифмических производных функций ?А(?), U«,(?,) в области (7.27) с точностью до 0(р2) приведены в статье Абрамова, Комарова (1972).
Учитывая, что для собственной функции Ат (р, о) = ~nk получаем из (7.33) спектральное равенство, связывающее атк = [— 1/4 — Ат1]1/2 и pi
. я(6+1) , . m8 — a2 — 5/4. » , л/ 2\ -1пр= -^~Ц-<а(а,т)- 4а2(1 + а2) 1п2р + о(р2).
(7.37)
Входящее в формулу (7.37) целое неотрицательное число /г равно числу нулей р. к. с. ф.
Спектральную связь аир (7.37) при малых р удобно представить в виде, разрешенном относительно In р
- inp = n(k+ 1}-(d(a, т) +
5/4 Г я (6+1) , Л Г 2л(6+1) , 0 . Л, --Y—-о) (a, m) I exp I--^U+2<o (о, т) 1+
4а2 (1 + а2)
4- о ^ехр | —
2л (6+ 1)
(7.38)
Разложение (7.38) дает приближение тем лучше, чем больше отношение k/a. Главный член в правой части соотношения (7.38) приводит к оценке
4л (k + 1)"|\\
р2= эхрГ- 2" (*+1)+ 2to (a, т)
l + o exp
(7.39)
Даваемое этой формулой экспоненциальное сгущение уровней р2(с) при a—»-0 объясняется свойствами уравнения (7.6) при |->оо. Аналогичное сгущение уровней
245
имеет место в уравнении Шредингерс с потенциалом — (1/4+а2)г-2, в котором уровни энергии определяются равенством (Базь и др., 1971, стр. 525)
?„ = ?0ехр(-^), п = 0,± 1,±2, ... (7.40)
Различие заключается в том, что в поле —(1/4+ +а2)г-2 дискретный спектр простирается до —оо («падение на центр»), в то время как спектр р2{а) задачи (7.6), (7.7) ограничен снизу, поскольку, в отличие от п, значения k неотрицательные.
Волновая функция Umh(p, 0; ?), удовлетворяющая условию нормировки (1.31), представляется в виде
nmk(p; о, ?) =
= (-!)'
(7.41)
где аир связаны соотношением (7.37).
Как обычно, формулы, описывающие поведение дискретных собственных значений вблизи границы сплошного спектра, позволяют найти в сплошном спектре поведение фаз рассеяния вблизи от границы. Можно показать, что величина А, определенная равенством (7.31), совпадает при —р2—>-с2>0 с фазой рассеяния решения радиального уравнения %т(с, 0, X) (1.37). Формула (7.33) дает разложение %т{с, 0, X) при с—>0
