Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
t]i<ti<;ti2 для значений ц, удовлетворяющих неравенствам т2/(к—Ь)<^\—ц2<^(к—b)jp2, квазиклассическое решение равно
Ёт,(л; R)=Nmq\{\-v?) p(t))]-»/*cos(j р(ц)йц-^\ (6.6)
А/ -iV t- Р + 'У72 где нормировка Afm9 вычисляется из соотношения
Til
В области т]з<т1<'П4 при значениях т21(к-\-Ь)^. <1—т]2<С (к~{-Ь)/р2 справедливы выражения, аналогичные (6.6) и (6.7) с заменами т]3, г)2 -»г)4, Nm-> N'm.
В остальных областях изменения ц, где [р(п)]2<0, решения имеют вид затухающей экспоненты
- [(1-г)2)р(г])]->/2ехр
235
(6.8)
причем
М та — ^ / lvmq> '»mq — ^ ) /Vmq, 1\mq — \ ) lvmq,
N%=N'm, Nm = Nmh = (4p/n)
1/2
а числа я2 и л2 совпадают с параболическими квантовыми числами п равны числу нулей волновой функции 2m?(ri; R) в каждой из потенциальных ям на рис. 33, а.
В пределе R-+0 функция —[р(т])]2 имеет вид // на рис. 33, а и 33, б, а волновые функции представляются функциями (6.6) и (6.8) (для т—0 rii =—1, т)4=1).
В частном случае Ь==0 формулы (6.6) и (6.8) дают асимптотику с. у._с. ф. Sm,(p, т)).
Нормировка Nj (R) решений (3.4), представленных
через функции Ilmk и Smq, определяемая из условия (3.5), при R-+0
^^-[wn)]'/2' (6-9а)
при R-+oo для eZi-термов
ЛГ- (6-9б>
Для eZ2-tepmob нормировка (6.96) отличается заменами р ^ р' = *. [_ 2Еп^т щ ть
Термы EKqm(R) и собственные значения %ml и находятся из квазиклассических условий квантования, которые для случая / рис. 33, а имеют вид
Si V
ctg j J p (л) dti j ctg ( j p (л) dr\ J -
(6.10a)
= tg*
-iarctg exp J- j'|p(ti)I^J
(6.106)
236
В случае // рис. 33,6 условие (6.106) принимает вид
cos ! j" р (л) dn \ =
1 + ехр 2
—у
-1/2
j Re р (r|) dn\ cos j |Im р (т|)| dr|
ч—У
(6.10b)
где г/ — мнимая часть комплексно-сопряженных корней Лг.з=x±iy. 0,6асоотношения (6.106) и (6.10,в) переходят друг в друга цри г/=0, т. е. при условии г\2=Цз, которое реализуется на вершине барьера, разделяющего ямы на рис. 33, а. Из трансцендентных уравнений (6.10а), (6.106) в пределе R-+0 и R-+oo можно получить разложения для констант разделенияkml и Л?$, которые с точностью О (и-2) и 0(%~2) в каждом члене разложения по степеням р совпадают с асимптотическими разложениями (4.23) и (4.52):
при R-+oo для eZi-решений имеем
kmk (р, 2ра) = — 2р (2* — а) —у. (2* — 2а — т) +
X™ (р, 2рР) = 2р (2% + Р) - х (2Х + 2Р - т) -
(6.11)
^(2х2 + Зхр + р2-/л2) + о(р-2).
Здесь х = /г2 +
m + 1
-----» « = "27» Р = "27»
2 » л¦ -а | 2
а параметры р, а, Ъ определены формулами (3.3а). Из равенства = следует разложение для Ej(R), которое с точностью до членов ~i?-2 включительно совпадает с асимптотическим разложением (4.59). Формулы для eZ2-peuieh'Hu получаются из (6.11) заменами p-v
-*¦ — р\ яа—>я2.
В пределе i?-v0 из условий квантования (б.Юв) находим разложение
+ 1/2)
С = (/+1/2)2 + ^-
+ 0(р2
8 {I + 1/2)"
+ 0(р«) (6.12)
237
и
ENlm{R) —
= - jlH^J- R* wS(f++i/z^ w +1/2>2 -3/n2]-
(6.13)
Выражение (6.13) для энергии с точностью 0(/~2) совпадает с асимптотическим разложением (5.12). Точность разложений (6.11) — (6.13) возрастает с увеличением числа нулей решений k и q. Однако даже для основного состояния k = q=m=0 они дают хорошее приближение для энергии в предельных случаях R-*~0 и R-*-oo. Как показывает опыт численных расчетов, и в области конечных R термы Ej(R) задачи Z\el2 определяются из трансцендентных уравнений (6.10) с точностью не хуже 5% (Герштейн и др., 1965).
Подчеркнем, что в формулы (6.2), (6.8) следует подставлять не разложения (4.23), а «менее точные» разложения (6.11) и (6.12), ибо именно они обеспечивают аналитичность квазиклаосических решений в особых точках уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Частный случай задачи двух центров — молекулярный нон водорода Нг —был рассмотрен в диссертации Pauli (1922) на основе старой боровской теории еще до создания квантовой механики. Ранние попытки использовать метод ВКБ для решения задачи (Willstat-1ег, 1931, Van Engers, Kramers, 1933, Hellmig, 1937), были неудачными, поскольку в этих работах при переходе от уравнений (1.14) и (1.28) к уравнениям вида (6.1) гл. I использовались преобразования (6.8а) гл. I, которые приводили к неверным результатам для квазннмпуль-сов. (Они отличались от выражений (6.1) заменой m2->-ms—1, что приводило к логарифмическим расходнмостям фазовых интегралов (6.10) прн т=0 и к неаналитичности решений (6.3) и (6.8) в особых точках уравнений ?=1 и ц = ±1) Последовательное квазнкласснче-ское решение задачи было найдено Герштейном н др. (1965) прн использовании преобразования (6.8) гл. I, которое приводит к выражениям (6.1) для квазиимпульсов р(?) и р(т|). (Отметим, что эти выражения для квазинмпульсов совпадают с каноническими импульсами в методе Гамильтона — Якобн.) Одно нз квазнкласснческнх решений предложено Bates, Reid (1968).
Fox, Turner (1966) применили метод ВКБ для оценки расстояния Roo, прн котором основной терм электрона в пол.е конечного диполя выходит в сплошной спектр. Асимптотика угловой функции задачи Ze(—Z) прн Ь-уоо, построенная в § 7, является асимптотикой квазн-классического типа.
