Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
%т(с, 0, Х)=Ат(р, о)|,-.е, а2=-1/4-Я. (7.42)
3. Асимптотика у. к. с. ф. 3mq(p, b; v\) и Х^1(р, Ь) при
Ь—уоо. Угловые кулоновские сфероидальные функции в области, определяемой условиями (7.3), не сводятся ни к каким более простым функциям. Уравнение для у. к. с. ф. в этой области без дополнительных предположений можно интегрировать лишь численно (см. п. 4 § 3).
Для получения аналитических формул, описывающих качественно поведение энергетических уровней в поле конечного диполя вблизи границы сплошного спектре, положим Ь большим параметром, а р будем считать
246
ограниченным. Асимптотика у.к.с.ф. при Ь—>оо строится методам эталонного уравнения (§ 5 гл. I). Уравнение (1.14) с помощью замены
У(п) = (1-г12)1/2ЗтЛР, Ь- и)
приводится к нормальному виду
V(n) + [- Р
1
Tf
(1
JUL] V)2J
(7.43)
V(tj) = 0. (7.44)
На границах интервала r)e[-1, 1] функция V(r]) обращается в нуль
V(ti)|„-±, = 0. (7.45)
При b—+оо уравнение (7.44) имеет полюсы в каждом из центров и точку поворота, которая близка к 11=0. Эффективный потенциал уравнения (7.44)
u0l) 1-^2 -([„^а
схематически изображен на рис. 35. Решение V(т|) строится в двух перекрывающихся промежутках
&о=[~ 1+е, по], По>0;
3>i=[i\u 1]. 0<ni<rio.
(7.46)
В окрестности г\=1 (lie ей)]) эталонным является уравнение
41/2
Рис. 35. Эффективный потенциал v (т)) в уравнении (7.44).
«М0 = о,
(7.47)
решение которого, обращающееся в нуль при #=0,выра-жается через функцию Бесселя первого рода (4.55) гл. I
Wl(y)=y"4m(2b"2y). (7.48)
Решение исходного уравнения (7.44) строится в виде
Vi(n) = [y'(r\)]-'hWl(y(n)). (7.49)
Граничное условие (7.45) при т| = I будет выполнено,
247
если положить г/(1)=0. Применяя рекуррентную процедуру, описанную в § 5 гл. I, находим масштабное преобразование
y(i\) = y0(v)+b-ly1(i\) + O[b~2),
Уо (л) =
у^1/2(1-Л2)-1/2^г| , (7.50)
Уг (Л) =У\П (Л)Д|"Л—'/2 (l_rf )'/2 {г/0 (г,), т,} - 1( 1
- т2) л-12( 1 - Л2)1/2[(1 - Л2)-2 -1 у' (л) УГ2 (Л)] +
+ j?V/2(l - Л2)1/2 - Tbr1/2(1 - Tia)-'/2]dTi,
где {#,л} = — т({Й + ?т —пР0ИЗВ°Дная Шварца.
В области iZ>0 в качестве эталонного уравнения выбирается уравнение Эйри
W"0(z) + bzW0(z) =0, (7.51)
общим решением которого является линейная комбинация функций Эйри Ai и Bi (Лебедев, 1963)
W0 (z) = Ai (- b1/3z) + d Bi (- bl,3z). (7.52)
Волновая функция У0(л) при г\^2)0 представляется в виде
V0(r\) = \z'(r\)]-WW0(z(4)). (7.53)
Масштабное преобразование z(r\) строится по общим правилам § 5 гл. I
г(л) = 20(т1)-Ьб-1г1(т1) + О(&-2))
2Ь(Л)
4Ь1/2(1-л2)-1/2^т1
2/3
(7.54)
Г
*i(Л) = zVU2(л) J -1 л—1/2 (1 - Лг)1/2 (г0 (Л), Л) +
— т2
Л~1/2 (1 - Л2)~3/2 - у Л~1/2 (1 - 'Л2)172 +
+ ттг1/20-ч2Г1/2
dt\.
248
В области перекрывания Фа и 3)\, т.е. при ч\\< <т]<т1о решения Ух(г\) и Уо(г]) должны быть линейно зависимыми
V0(f)) = CV1(f]) (C=const). (7.55)
Условие (7.55) удобно представить в виде
VI(v)V1(i\)-V0(t])V\(v) = 0. (7.56)
Подставляя в равенство (7.56) разложения Vi(r\) и Vo(r|) и используя асимптотики функций Эйри и Бесселя при больших аргументах, получаем трансцендентное уравнение, определяющее d как функцию т, р, Ь, %
d = ctg(S0 + S16-1/2 + O(6-3/2)), (7.57)
б0(6) = ^2(2л)3/2Г-2(1/4)-^ -qn, ^ = 0,1.....
(7.58)
м*>-[^(-?+4+*-4'4 (7-59)
Граничное условие (7.45) при i) — —1 будет выполнено с экспоненциальной точностью, если положить постоянную d в линейной комбинации (7.52) равной нулю
d=0. (7.60)
Собственные значения л^(р, Ь) находятся из условия (7.60), где d определено формулой (7.57). Получающееся спектральное равенство удобно представить в виде, разрешенном относительно большого параметра Ь:
х{'+61»74;'ДУ+°^ + "' + 'Г*)}- <™>
Целое неотрицательное число q, входящее в равенства (7.59), (7.61), равно числу нулей у. к. с. ф. При постановке задачи не делалось никаких специальных предположений о величине q. Из формулы (7.61) вытекает, что при Ъ—>-оо справедлива оценка q—0(bm), т. е. в этом случае число нулей у. к. с. ф. q также
249
является большим параметром. Следовательно, асимптотика у. к. с. ф. при т = 0(\) является асимптотикой квазиклассического типа (§ 6). Формула (7.61) тем точнее, чем больше осцилляции совершает волновая функция.
4. Энергетический спектр системы вблизи ?=0.
Энергия Е как функция межцентрового расстояния R и заряда Z находится из системы равенств
p2 = -±-ER\ b = 2ZR,
2 (7.62)
Ор,&) = ^(/>,0) = -1/4-а2.
Когда Я=—1/4 (а=0), /?=0, дискретный спектр в радиальном уравнении пропадает. Термы E(—Z, Z,R) при этом условии выходят в сплошной спектр. Координаты Rgm точек выхода термов в сплошной спектр и соответствующие им значения удвоенного критического дипольного момента btm=2ZRqm определяются из условия
2ZRQm = b (X, p)k=_1/4 = bqm. (7.63)
Ip=o
С помощью равенства (7.61) получаем для bqm приближенную формулу
Ьт=?Ш(2д + т + 1)*х
( 2 3/я2—1 , .Л
X 1 + Зя (2д + т+ \f + О U2<7 + ОТ + 1] ) ]• (7.64)
Точки Rqm(bqm) при фиксированном заряде Z распределены квадратично по q. При R<.Roo (6<t»oo) энергетических уровней в системе нет вовсе.
