Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Индексы п2, п2, от которых зависят решения (4.34), (4.34') системы трансцендентных уравнений (4.30), (4.33), выражаются через число нулей у. к. с. ф. q и параметр [J. Определив пг или п'2 по заданным q и р, выясняем, к какому из двух асимптотических типов относится рассматриваемая у. к. с. ф.
Полное число нулей q внутри промежутка —Kii< <1 находится с помощью (4.24), (4.28) и связано с индексами «2, п2 следующими соотношениями: </ = "2 + [l + n2 + Entp]e(n2 + p), лг<?, (4.43)
<7 = n'a+ [l +n'2+ Ent(-P)] 6 (ni-p), n2<?. (4.43')
Единица в квадратных скобках в (4.43), (4.43') учитывает, что, кроме нулей, расположенных вблизи ii=±l, возможно появление у функции Sm,(p, 2pfJ; г\) еще одного нуля в подбарьерной области t)_<;ti<ti+. При фикси-
213
рованном g и р нецелом, в целых числах разрешимо либо (4.43), либо (4.43'), поскольку Ent(—р) = = — Entp— 1.
Формально выражая из (4.43), (4.43') п2ип2, получаем я, — Р><7.
-L((7+Ent(-P)), |р|<?, {4-43а)
п, =
п2 =
4-(? 4- Entр), |р|<</,
(4.43'а)
9, Р > q.
Если определяемое соотношениями (4.43а) число п2 — целое, то данное состояние является состоянием левого центра. Если определяемое соотношениями (4.43'а) число «2 —целое, то данное состояние является состоянием правого центра. Как видно из соотношений (4.43а), (4.43'а), деление состояний на два типа в зависимости от того, около какого центра локализована волновая функция, существенно зависит от соотношения между величиной р и числом нулей у. к. с. ф. Если выполняется неравенство —р><7, то имеется только серия состояний левого центра, если $>q, то только серия состояний правого центра, если |[}|<<7, то имеются обе серии. С ростом [J нули у. к. с. ф. Emq(p, 2рр; г\) при целочисленных |р|<<7 переходят из окрестности г\=—1 в окрестность ¦п = + 1. При каждом таком переходе состояние левого центра становится состоянием правого центра и наоборот.
Если р близко к целому числу п2—п2 так, что выполняется неравенство (4.37), то учет только нулевого приближения /о, /о является недостаточным. Собственные значения
Х$ [р, 2р [п2 - л,); -1, п2 + (т + 1)/2)
X™' {р, 2р {п2 - п2); 1,п2 + (т+ 1)/2)
совпадают,во всех порядках пор, а соотношения (4.43), (4.43') не позволяют однозначно связать индексы q, q' и n8, п2. Поскольку кратных собственных значений в одномерной самосопряженной задаче Штурма — Лиувилля быть не может, три вычислении собственных значений необходим учет экспоненциально малых добавок 8% и 8%'.
214
Приращение любой величины f, зависящей от %, х', возникающее, за счет добавок бх, б/', находится с помощью диффвренцировамия по индексам п2, п2
f(x)~f (Хо) + -|jx=Xo6x = / (Хо) + ^Йг 6*' (4l44)
/(х')«/(хо)+^т .бх^/Ы + ^бх'. (4.44')
Х'=»ЗС0
где бХ и бХ'в окрестности (3»n2 — п2 определены формулами (4.35), (4.35').
Соседние по q собственные значения К, которые при (3 = п2 —п2 без учета добавок бх, бх' совиадали, при учете этих добавок оказываются раздвинутыми на экспоненциально малую величину; поэтому точки
Р = п2 — пг
(4.45)
называются точками квазипересечения. Разность собственных значений в этих точках, найденная с помощью (4.44), (4.44'), равна
X$r4-i [р, 2р [п2 - п,)) - Х$ {р, 2р [п2 - п2)) =
n2+n„+m+2 , 2 (4р) 2 е 2р
X
X
[«sI(hH- ("2 + '")!]1/2
f1 - -4J ho + X'o + 4XoXo + + 2xo + 2x] +
+¦ щ [(Xo + X'o + 4XoXo + x) X
X (Xo + X'o + 4XoXo + 2т - 4) + 2Хо3 +2Х'03 + 2Xo Xo +
+ 2XoX'o2 - 2Xo - 2Xo - 4т (xo + Xo)] + О (р-э)
, (4.46)
где Xo=«2+(w + l)/2, Xo = «2 4- (m + l)/2, т = (1 - m2)/4, а индексы 9, n2, n2 связаны соотношением
q = n2 + n2. (4.47)
В точках квазипересечения для коэффициентов волновой
215
функции cL и d+ справедливы оценки
d. = 2^ (sgn6X(- 1У*> + О (p»'+<W в'»)),
d+ = 2-|/2(l+o(p"'+rt»+m+Ie-H).
Две у. к. с. ф. Вт9(р, 2р(п2-/г2);л)и Sm„+i (р, 2р{п'2—пй); г\) q=n2+nt, соответствующие квазипересекающимся собственным значениям, имеют порядок 0(1) как в окрестности т]=—1, так и в окрестности т) = + 1 (кроме малых окрестностей нулей функций). Они различаются наличием дополнительного нуля в подбарьерной области у одной из них. Функция, не имеющая нуля в подбарьерной области, имеет там нуль производной. Деление на состояния левого и правого центра в точках квазипересечения и вблизи них таким образом пропадает.
При р=0 у.к.с.ф. переходят в сплюснутые угловые сфероидальные 'функции, асимптотика которых при р ->- оо построена в § 5 гл. I. Все разложения для у. к. с. ф. в настоящем параграфе при р=0 сводятся к соответствующим разложениям для с. у. с. ф. в § 5 гл. I. Квазипересечению собственных значений у. :к. с. ф. при р=0 отвечает экспоненциальное сближение собственных значений симметричных и антисимметричных с. у. с. ф. При целых |р| ~>q у. к. с. ф. отвечают одноцентровой кулонов-ской задаче п. 2 § 8.
Поведение собственных значений v = (2p)~]7$q (р, 2р|} в зависимости от р при р->-оо изображено на рис. 31.
Обратимся теперь к радиальному уравнению (4.7). Его решение представляется в виде
U(l)=C[y'(l)]-'<>Mx>n/2(2py(l)) (C=const). (4.49)
