Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
= (4р)2(х+х')е-4р jr (х 4.I+*) Г (х + -Ц^-) x x Г (х' + -Ц^-) Г (х' + ±^))~111 + 0 (/>-')}• (4-33)
Для краткости мы не привели здесь дальнейшие поправки в правой части (4.33), известные с точностью до
14 Н. в. Комаров и др, 209
0(р~3). Они будут учтены лишь в окончательных формулах.
Равенства (4.30), (4.33) представляют собой систему двух уравнении относительно % и Обозначим правую часть уравнения (4.33) через б2. Поскольку б2 экспоненциально стремится к нулю при р->оо, систему (4.30), (4.33) можно решать методом итераций. Пренебрегая б2, получаем две серии решений, соответствующих обращению в нуль одного из тангенсов в (4.33); либо
%о-п2 + ^±1, x;=„2 + ^L±i +р, (4.34)
либо
Хо^Щ + ^Р, Хо = "2 + ^-р\ (4.34') X = Хо + бх, X' = Хо + бх'.
Здесь и2 ии2 пробегают значения 0, 1,2,...
Способ вычисления первой итерации системы (4.30), (4.33) зависит от того, близко ли \} к целому числу.
Когда значения \) не попадают в малые окрестности целых чисел, поправки бх и б%' находятся независимо
и имеют порядок О (р2(Хо+х°) е~4р).
Когда значения $ близки к целым числам, возникают
fit I 1 fj\ I J
две возможности. Если %--их'--^--целые
числа разных знаков, то б2=0, и уравнение (4.33) выполняется во всех порядках по р.
Когда значения \} попадают в малые окрестности це-
лых чиселр» и2 — и2, т. е. %--и %'--^— близки
к целым неотрицательным числам и2, и2'. то оба тангенса в уравнении (4.33) равноправны. Воспользовавшись формулой для тангенса суммы (разности), после несложных преобразований получаем
бх = - ^-tgnp +
(4.35)
6*' = ir ЛР ± [(-27Гtg ЛР )2 +62 ("2>п'2'т' p}f2-
(4.35')
210
В формулах (4.35), (4.35') б(п2, п"2, т, р) равно
{ip)n,+n'2+m+le_2p
б (я„ п2, т, р)
[л21 (п. + т)\ п'2\ (п'2 + m)l]
1/2
X
Хо + Хо2 + 4ХоХо + ^-у2"] +
+ 32^5 (х° + + 4Х<М + l~~T!~f ~ 2х" ~ 18х°х° ~" - 18ХоХо2- 2Х;3 - 2хо — 2x0—3(1 — т2)(Хо + Хо)] +
+ 0(?)}, (4.36)
где xo=ft2+('"+l)/2, х'о = «2 + (^ + 1)/2. В малой окрестности р«п2— пг, где выполнено неравенство
|tg ПР| « -i-IP - ("2 - П2)! < 6 m' P)» (4-37)
равенства (4.35), (4.35') определяют два набора бх и бх', которые меняются местами при изменении знака (5— (п2 — п2). При отходе [J от целочисленного значения п2 — п2
-± |tgnp| > б (п_,п_,/я,/>), (4-38)
в соотношении (4.35) нужно оставлять только положительное значение квадратного корня, а в соотношении (4.35') — только отрицательное.
Асимптотика у. к. с. ф. S^p, 2p(J; г\), удовлетворяющая в первом порядке по р условиям непрерывности (4.31) и нормировки (4.13), в области 3)- имеет вид*)
Зт?(р,2рР;л) =
d
Г(т + 1)
'2г(Х+Ц2?)"|1/2^х>т/2(2р (1+п)+2(х+Р)1п
X
х{1+0(р-')), чеж- (4.39)
*) Оценка в формулах (4.39) не является равномерной по т\; она выполняется всюду, кроме малых окрестностей нулей у. к. с. ф. Аналогичное замечание справедливо для поправок в окрестностях нулей функций в других приближенных формулах. В дальнейшем мы на этом вопросе останавливаться не будем.
14*
211
в области 25+ имеет вид Зтя(р,2р\}; т]) =
Г(т+1)
2г(х'+-^)"|1/2^х.1/п/2(2р(1-т,)+2(х'+р)1пф)
X
Х(1+0(р-')}, tiea>+. (4.39') Коэффициенты d_ и d+ определяются соотношениями
d- = Ъ
^ + 4 = 1,
sin я (2х' — т — 1)_
(4.40)
sin я (2х — т. — 1) + sin я (2х' — m — 1)
— cos я ^
1/2
xsgn
X m + 1
d+ =
sin л ^x' — —2— j _ sin л (2y— m — 1)_
п/2
sin n (2% — m — 1) + sin n (2%' — m — 1)|
(4.41)
(4.41')
где sgnjc — знак я.
Знаки в формулах (4.41), (4.41') выбраны так, чтобы у. к. с. ф. была всегда положительной при т) = + 1. Учет поправок в аргументах функций Уиттекера нужен лишь
ПрИ Т]2<Т]<Т]1.
У. к. с. ф. Зтя(р, 2р\}; ц) и собственные значения %mq, соответствующие найденным % и обладают следующими свойствами.
Нулевое приближение %0, %0 к решению системы
(4.30), (4.33) определяет степенную зависимость и Smq(p, 2р\}\ ц) от р.
Когда [} — нецелое и выполняется (4.38), имеются
две серии собственных значений: У^тЧ^р,2р\Ъ;—1,"2+
+ ^i^j задается формулой (4.23), и "kml^p,2р\Ъ; 1, я2-|-
+ m ^"1 j задается формулами (4.23), (4.27).Учет экспоненциально малых поправок 6%, 6%' в этом случае является превышением точности. Подставляя в коэффициенты волновой функции fiL и d+ (4.41), (4.41') значения
212
Хо. Хо из (4.34), зависящие от индекса п2, получаем оценки d. = sgnsinnp + О (p2<2n,+m+i+p>e-4p)(
d+ = О (р2(2П,-гт+1+Э)е-4р). (4-42^
Соответствующая собственная функция в основном сосредоточена в области 3)-, где выражается через полиномы Лагерра (2.26а), имеющие п2 нулей вблизи г) = — 1, и экспоненциально мала в области 3)+. Поэтому собственные состояния, зависящие от индекса п2 из (4.34), естественно назвать состояниями левого центра
(л=-1)-
Подставляя в коэффициенты волновой функции d-и d+, значения Хо» Х0 из (4.34'), зависящие от индекса
«2, получаем оценки
d =0(р2(2"2+'»+1-р)в-4р),
(4.42')
d+ = 1 + О (р2(2"2+т-Н~р)е_4р).
Собственная функция в этом случае в основном сосредоточена в области 3)+, где выражается через полиномы Лагерра, имеющие п2 нулей вблизи т) = 1, и экспоненциально мала в области 3)-. Состояния, зависящие от индекса п2 из (4.34'), будем называть состояниями правого центра (т]=1).
