Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
П = РіЧі + Paqa + раЧз
то в силу дистрибутивности произведения мы получим аналогичный результат
(РіЧі + РаЧа + РзЧз)'а = Pi (Чі-а) + Pa (Ча'») + Рз (Чз-а) (?)
При перемножении тензора на вектор важно указывать порядок умножения. Условимся понимать под скалярным произведением заданного формулой (1) тензора П на вектор а слева новый вектор а", который мы будем обозначать символом а-П, или короче аП, и который мы определим формулой
а" = а-П = (a-I1) P1 4- (а-ь) ра + (a-i3)ps = A1P1 + аара + а3р3 (8) и в проекциях
я/ = H1P11 CL2P2I + Я»р31
®а" = ^iPia + ааРаа "Г азРза (9)
<Ч" = CLiPi3 + «аРаз + asPss
Для произведения вектора на диаду получим аналогично (6)
а-(Ьс) = (а-Ь) о
и далее, аналогично (7),
a-(Pi4i + РаЧа + РзЧз) = (a-Pi) Чі + («'Pa) Ча + (а'Рз) Чз (Ю)
Формулы (7) и (10) приводят к очень простому практическому правилу: для скалярного умножения суммы нескольких диад на вектор достаточно помножить последний скалярно на ближайший к нему вектор каждой Диады. 124 умножение тензора на вектор
298
Сравнение формул (4) и (9) приводит к одному важному выводу, выражающемуся формулой
а-П = Пс- а (11)
Формула (8) допускает интересное геометрическое толкование. В самом деле, сопоставим формулы
a = O1I1 + o,is 4- a3i9 (12)
а" = <*iPi 4 азрг 4 а3 р3
Мы видим, что произведение а-П так составлено из векторов pi, рг, рз, как вектор а составлен из основных ортов ii, із, із.
Ограничимся, для ясности, случаем двумерного пространства, таи что
a = O1I1 4 д2 і2
а" = OiPi + ^aPa
Построим на взаимно перпендикулярных ортах ii и h квадратную решетку из растяжимых прутьев, соединенных шарнирами, как показано на фиг. 87.
Теперь так сдвинем и растянем стержни, чтобы образовалась параллелограмматическая решетка (фиг. 88), стороны каждого параллелограмма которой дают векторы pi и P2. Тогда радиус-вектор a = OM любой точки M решетки относительно точки О перейдет при такой деформации решетки в новый радиус-вектор a* = OtM' (О' и M' — новые положения точек О и М). На чертежах даны а и а" для ах = 3, аг — 2.
2, В результате скалярного умножения тензора П на вектор а мы получаем новый вектор а' = П-а. Поэтому на тензор П можно еще смотреть как на оператор, совершающий преобразование одного вектора а в другой вектор а', проекции которого определяются формулами (4). Покажем, что эту точку зрения можно положить в основу еще одного определения тензора.
Для того чтобы лучше уяснить себе сущность дела, докажем одну теорему, относящуюся к векторам.
Если для всякой прямолинейной прямоугольной системы координат OXiX2X3 мы имеем совокупность трех величин bi, Ь3, bs и если при переходе к любой другой (конечно, тоже прямолинейной прямоугольной) системе координат и для любого вектора а выполняется условие
<*i'v 4 w 4 as'b3 = аа 4 аф3 4 аф3 (13)
то величины bi, Ьг, Ь3 определяют вектор Ь.
M
V
it 'Л *
а «1
Фи!. S?
Фиг. 88 298
АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Гл. III
Для доказательства положим а\ = 1, аа' = 0, а»' =Oh заметим, что тогда из (13) получится
^1' = а1Ь1 + аф2 + афз
Но в силу того, что а есть вектор и в силу формул (2) § 22 будем иметь
о, = cos (!E1, X1'), аг = cos (sa, ^1'), aa = cos X1')
Следовательно
bi = bt cos [ху, OS1') + b2 cos {хг, X1') + ba' cos {xa, X1)
Аналогично устанавливаются формулы для Ьг' и Ьг. Совокупность же полученных трех формул выражает по § 22, п. 1 как раз тот фак?, что величины bi, Ьг и bs определяют вектор fa.
Докажем теперь аналогичную теорему для тензоров. Пусть для каждой прямолинейной, прямоугольной системы координат мы имеем совокупность девяти величин pki ' = 1, 2, 3), ц пусть линейные соотношения
h — P11O1 + Pnat + р13а3
ba = Paiaj + рг а«г + Рг з<*з (14)
Ьз = P зі<*і + Рз&г + Pstfa
определяют в любой координатной системе совокупность трех величин Ь\, Ь3, bs. Если эти величины оказываются проекциями некоторого вектора всегда, как только за alt а2, аа взяты проекции какого-нибудь вектора, то девять величин рн, являющихся коэффициентами линейных соотношений (14), определяют некоторый тензор П.
Для доказательства возьмем какую-либо систему координат Охі'хг'хл и постараемся выразить величину рц' через девять величин рга. Удобно взять за а вектор, который в новой системе координат имеет составляющие a{ — 1, а,' = 0 (s ф 1); тогда из формулы (14) получим:
V=Pw'
Так как fa и а по условию являются векторами, то
э
bit' = 2 <*jn^ri аа = аи г=\
Поэтому, на основании формул (14),
з аз зз
Pu' = V = 2 a*A = 22 aZrrPrei8 =22 VkraisPrs (к, г = 1,2, 3)
Г=1 Г=1 8=1 Г=1 S=I
Эти соотношения и являются выражением того факта, что величины Pki образуют тензор. 124
умножение тензора на вектор
298
3. В качестве применения предыдущей теоремы рассмотрим еще несколько примеров тензоров.
Допустим, что твердое тело вращается около неподвижной точки О (фиг. 89). Найдем выражение главного момента количества движения этого тела относительно точки О через вектор его угловой скорости т.
