Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
4. Скалярное произведение симметричного или антисимметричного тензора на вектор обладает некоторыми особенностями, которые полезно отметить.
От умножения симметричного тензора П на вектор а как справа, тая в слева получается один и тот же результат.
В самом деле, мы имеем в силу формулы (11) и в силу симметричности тензора П
а-П = Пс.а = П.а (34)
Если образовать квадратичную форму
F --= Pi1X12 + Pi2X32 4- PasXt2 4- ^pltX1X2 4- ZplxX1X8 4- 2ркх2х3 где ркі — компоненты симметричного тензора II, то мы будем иметь очевидные равенства:
/тт , 1 8F .
(Il-T)1 = -J--^ = P11X1 4- PliX3 4- PjsX3
1 3F
(П.г)а = Y = P™Xl + PMa* + (35)
(Ibr)3 = -у= Pl3Xl 4- PtiXi 4- РзцХ*
эквивалентные одному векторному равенству
П.г = -i- grad F (36)
Возьмем теперь антисимметричный тензор
А =
Умножая его на вектор а справа, мы получим вектор b = А-а с составляющими
A1 «= A11O1 4- А12 U2 4~ А ^a3 = — со3а2 + a>2as
bt = — OOja3 4- ®sai
Ьа = — ^iOL1 4- сO1Ot
0 — CO3 <о2 j
Cfl3 0 — соД (37)
Щ CO1 oj умножения твн80ра на вектор
3U3
Отсюда видно, что
А -а — юха (38)
Совершенно аналогичное вычисление показывает, что
а*А = ахю— — А-а (39)
Таким образом, результаты скалярного умножения антисимметричного тензора А на вектор а справа и слева отличаются только знаком. Это впрочем является непосредственным следствием формулы (11) и формулы
(9) §23.
Пусть вектор а (г) есть вектор смещения частицы упругого тела; тогда, как мы знаем
где
= Ф + А
ДГ
есть симметричный тензор деформаций, а антисимметричный тензор. Поэтому
da = ^ -dr =Ф.а!г + A-dr (40)
dr
Но в силу формул (31), (32) и (38) мы имеем A.-dr = -i-rolaxrfr поэтому получаем разложение dr на две части
dr = ф.?Й- +"Yrot axrfr (41)
Эта формула определяет относительные перемещения различных точек бесконечно малого объема, окружающего рассматриваемую точку, в виде суммы двух членов, последний иа которых дает поворот объема как целого, а первый определяет истинную деформацию объема (см. § 29, п. 4).
5. Совершенно аналогично скалярному произведению можно определять векторное произведение тенаора
П = iiPj 4- і2рз 4 ізРз на вектор а справа как новый тензор П', который мы обозначим символом Пха и определим формулой
Пха = ii (piXа) 4 ія (р*ха) 4- і„ (р3ха) (42)
Из самого вида этой формулы видна дистрибутивность векторного произведения тензора на вектор. Если взять за тензор П диаду Ьс, то, как легко проверить, получится
Ьсха — Ь fova^ 304
АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Гл. III
т. е. опять надо формально помножить на вектор а тот вектор диады Ьс, который стоит ближе к а.
Это правило остается в силе и в случае векторного перемножения суммы нескольких диад на вектор а справа или слева. Обравуем в качестве примере векторное произведение
Ф = WXl
где ш — некоторый вектор, I — единичный тензор. Так как
I = Mi + Ma + M3
TO
Ф — (MXI1) I1 4- (юхМ I2 + (MXi3) і» Помножая тензор Ф на произвольный вектор а справа, получим
Ф'В = (WXii)(Va) + (MXig) (іа-а) -Ь(мхі3) 03>а) = = (м X "і)«і + (м X і»)яа + (м X із) Q3 = (м X а)
Сравнение полученной формулы с формулами (37) и (38) показывает, что тензор Ф совпадает с тензором А, определенным соотношением (37). Дадим ряд задач, в которых выясним еще некоторые вопросы. Задача 162. Показать, что если тензор П обладает тем свойством« что векторы
а' = П.а, Ь' = П.Ь, с' = П-с
где а, Ь, с три фиксированных некомпланарных вектора, оказываются компланарными между собой, то все векторы П*и, где и — любой вектор, компланарны и найдется такой отличный от нуля вектор v, что П-v = 0. Обратно ив наличия такого вектора v следует компланарность всех П-и.
Задача 163. Показать, что если тензор П обладает тем свойством, что векторы
а' = П.а, Ь' = П-Ь, с' = П-с
где а, Ь, с — трн фиксированных некомпланарных вектора — оказывают* ся коллииварными между собой, то все векторы П-u, где и — любой вектор, коллинеарны и найдутся два таких неколлинеарных вектора VHw, что II-V = 0 и Il-f = 0. Обратно, из наличия двух таких векторов VHW следует коллинеарность всех П-и.
Задача 164. Если для трех некомпланарных векторов а, Ь, с мы имеем
П-а = О, П.Ь = 0, П.с = 0
то П*и =0 для любого вектора и.
На основании предыдущих задач все тензоры можно разделить на 4 класса; а именно, возьмем три каких-либо некомпланарных вектора а, Ь, с н составим векторы
а' = П.а, Ь' = П-Ь, с' = П-с
тогда могут оказаться четыре следующих случая: УМНОЖЕНИЕ ТВН80РА НА BBKTOP
305
1) a' = b' = с' = 0, в атом случав назовем тензор П нулевым тензором. Все составляющие нулевого тензора равны нулю, так как из формул (4) ясно, что в противном случае нашелся бы вектор а такой, что а' ф 0.
2) а', Ь', о' коллинеарны, но не все сразу равны нулю — в этом случае тензор П называется линейным.
3) а', Ь', с' компланарны, но не коллинеарны — в этом случае тензор П называется пленарным.
4) а', Ь', с' некомпланарны — в этом случае тензор П называется полным.
