Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
з 3
Pkk = 2 ot^2' PtI = 2 ®*Г«Ir (& =^ і)
C=I Г=1
равные соответственно 1 и 0, в силу формул (5) § 4. Таким образом, во всякой системе координат будет
Pkk = 1, Pm'= 0, <к=?1)
что и доказывает наше утверждение. Очевидно, что для единичного тензора
Pi = iI. Ps = ia» Ps = "s
Следовательно, другой формой записи единичного тензора будет
I = Uil + i,i, + i„is (17)
В качестве второго примера возьмем два вектора а и b и составим матрицу
В силу формул
мы будем иметь
f «1*1 «А I1Ib3 j
ab = < афл афч оф., I- (18)
I Я А афъ аф2 J
з 3
V = Jj Oiltrar, W - 2 <*fA
Г =I
3 8
Мы видим, что элементы матрицы (18) преобразуются по формулам (14), следовательно матрица (18) определяет тензор, который называется диадой и обозначается через ab. Составляющими этого тензора по осям X1, х2, X3 являются, очевидно,
р, = Л]Ь. ра = я2Ь, P3 = л3Ь
Обратим внимание, что диада
IblCLy Ms 1
ujd, 62ла b2tI3 > (19)
^a1 63я2 63Д3 j
отлична от диады ab.
Допустим, что мы имеем тензор П с компонентами pki и рассмотрим таблицу с элементами q^ = pik. Покажем, что матрица с элементами qkl тоже определяет тензор. В самом деле, проверим формулы (14):
Які
' = Plk =22 aIra-ItlPri =22 alraksQar = 22 акЛгЧя I 23
сложение h разложение тензоров
291
Так как по значкам ras происходит суммирование, то мы можем г обозначить через s и s через г; но тогда ясно, что формула (14) для величин qici имеет место, и следовательно мы действительно получили тензор, который обозначается через
IjBn раї р»і І
pn Jha />82 J р\г роя рзъ J
и называется тензором, сопряженным с тензором ГІ.
Так например, диада (19) является сопряженной с диадой (18). Очевидно, что тензором, сопряженным с тензором Пс, является тензор II:
(ПС)С = П (21)
§ 23. Сложение и разложение тензоров
1. Определим сумму двух тензоров: П' с элементами Pki и П" с элементами Pki", как теизор П с элементами
Pm = PM + Pu (1)
Что П действительно является тензором, следует из линейности соотношения (1) и линейности формул преобразования компонентов тензора (14) § 22. Так как
3 3 3
Pfc = 2 Pkr «г, P»' = 2 Pkr' ir, P(t° = 2 Phr" Ir
Г—-1 г*=| Г—1
то очевидно, что составляющие тенвора П. по осям аа, %г, хз определяются путем сложения составляющих тензоров П' и П":
Pi. = Pft' + Pu" (2)
Точно так же очевидно, что если мы умножим все элементы Pki некоторого тензора П на один и тот же скаляр X, то в результате мы получим новый тензор, которого компонентами будут Xpht.
Этот тензор естественно обозначить через Ш. Составляющими этого тензора по осям X1, х2, х3, очевидно, будут являться Xp1, Xp2, Х| 3.
2. Тензор П, обладающий тем свойством, что
Pu = Рік Л і - 1. 2. 3) (3)
т. е. значение любого компонента которого не меняется от перестановки значков этого компонента, называется симметричным тензором. Таким образом, компоненты симметричного тензора, симметричны относительно главной диагонали таблицы тензора, равны между собой. Поэтому симметричный тензор определяется шестью величинами, а не девятью, как общий тенаор. Заметим, что из формул (14) § 22 легко можно.
19 282
афинные ортогональные тензоры
Гл. IH
вывести, что если формулы (3) имеют место для одной, какой-нибудь координатной системы, то эти формулы будут справедливы и в любой координатной системе. Очевидно, далее, что симметричный тензор является сопряженным самому себе:
Пс = П (4)
Тензор П, обладающий тем свойством, что для любых значков киї Pu= - Рік (*. ' = 2. 3) (5)
т. е. значение любого компонента которого от перестановки значков этого компонента меняется на прямо противоположное, называется антисимметричным тензором.
Очевидно, что элементы антисимметричного тензора, стоящие на главной диагоиалв, равны нулю: pkk = 0, ибо = — ркк.
Элементы же, симметричные относительно главной диагонали, равны но величине, но противоположны но знаку.
Если ввести обозначения
O), = P3 S = — P2S, W2 = Pia = —Psi, й>8 — Pn = — Pu то таблица антисимметричного тензора примет вид
О — ша <U2 j
0? 0 —ш, I (6)
— <oa Mi O J
Таким образом, антисимметричный тензор определяется только тремя величинами fih, fife, Ша.
Заметим, что из формул (14) § 22 легко вывести, что если формулы (5) имеют место для одной какой-нибудь координатной системы, то эти формулы будут справедливы и в любой координатной системе, ибо
3 3 S^ з 3 3
Plk =SS aCraHlPrt = — 2 2 atIrjZhaPw = ~ 2 S ^kifllrPsr = — Pkl г=1 *=»1 г—1 r=l
Покажем, что величины on, ?02 и (Os можно рассматривать как компоненты некоторого аксиального вектора со.
В самом деле, вычислим например
З а
= Ps2'= 2 2«»S21 pri =
Г—I D=I
= а>1 (оззагг — «ага2а) (Da (азіагг — апаагі) + соз (аагагі — asiaas)
Если воспользоваться теперь формулами (20) § 6, то мы получим ю/ = ± (ojIaU + OJja12 + 0)8аг8)
где верхний знак берется при одноименных системах Oxl'х2'Xs' и Oxt^xs, нижний при разноименных. СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИИ ТЕНЗОРОВ
293
Аналогично получаются две другие формулы, так что получаем формулы преобразования
