Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 91

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 144 >> Следующая


Дф, (Л /) = P (/>. О - ^ $ -S P (<?. t —9 4 ГЯО)

и так как очевидно, что



а«» 4л

то сразу находим, что

?ф, (Р, t) = р (Р, t) (82)

Принимая еще во внимание (73), приходим к окончательному выводу

Пф (Л t) = P (Р, t) (83)

т. е. решением неоднородного волнового уравнения (83) является запаздывающий Ньютонов потенциал (71).

10. Наряду с запаздывающим объемным потенциалом (71) мы можем рассматривать также и запаздывающие потенциалы простого слоя

J-U (6, „,С. I -Jr)* (84)

S S

или запаздывающие потенциалы двойного слоя, получающиеся от распределения запаздывающих дублетов вдоль некоторой поверхности S.

При этом запаздывающий потенциал дублета определяется следующим образом.

Допустим, что запаздывающий потенциал, происходящий от источника, находящегося в точке Q (фиг. 68), есть

р Z.t-r/c)

г

сдвинем этот же самый источник, с его распределением интенсивности во времени, в бесконечно близкое положение Q' и образуем, разность

р(?. ті. S.t-r'/g) _ p(g.4.S.'-r/c)

т. е. у источника в Q' будем брать то запаздывание, которое соответствует именно положению Q'. Обозначим опять Q Q' = г'—г = dr = e's

18* 2(276

векторный анализ

Гл. II

и положим, что при бесконечном сближении источников р растет таким образом, что

Iim ер (І, я, I, I) = т. (І, ті, I, t)

«->о

Разность (85) будет, очевидно, в пределе равна

Это выражение мы условимся обозначать через

б [та! ,,91 1 rfml дг

otV -Wlb Т~ 17ІаТJ"* <86>

В соответствии с формулой (86) под запаздывающим потенциалом двойного слоя мы должны понимать выражение

» г- о -Jlwi-f <87>

В § 19 мы вывели формулу, выражающую значение гармонической функции ф внутри некоторой области V через значения функции <р и ее нормальной производной на границе S этой области:

s

Мы выведем теперь для случая, когда функция <р удовлетворяет волновому уравнению

Af-VsF = O (88)

аналогичную формулу

s

или, несколько подробнее,

(ад

Эта формула имеет место, если точка P лежит внутри поверхности S', если же P лежит вне поверхности S, то интеграл в правой части формулы (90) обращается в нуль.

Прежде чем доказывать формулу (89), выясним ее смысл. Мы предположили, что внутри поверхности S выполняется уравнение (88); это значит, иными словами, что внутри поверхности S источники отсутствуют; следовательно все имеюшиеся источники находятся вне поверхности 5. Но правая часть формулы (89) представляет сумму потенциалов простого и двойного слоя; иными словами формула (89) дает выражение значений функции ф внутри поверхности S черев фиктивные источники, распределенные по поверхности S. 5 2<

переменный поля в сплошной среде

277

G такой точки зрения формула (89) является математическим выражением принципа Гюйгенса в форме, приданной последнему Кирхгоффом, которому принадлежит формула (89).

Перейдем теперь к доказательству формулы (89). Для этого применим формулу (43) § 19 к функции

[<pl=<p(s, ч. ?.1--? = <|>(С,/—9

где г = PQ — расстояние между неподвижной точкой P и переменной точкой Q:

Ф (Р, 0 => ф {х, у, г, г) — = (91)

v s

Под знаком интеграла [ф] рассматривается, как функция точки Q (I, Г|. входящей как явно, так и через посредство г, поэтому, вычисляя по правилу дифференцирования сложных функций, находим

grad [<р] = grad ф (Q, t - f) = [grad Ф] - -I [j*] grad г (92)

Отсюда следует, что на поверхности S

~дГ - Ідї\ — 7" larj Tn

Введем теперь для большей ясности сферические координаты г, 8, ф с центром в точке P и введем сверх того обозначение

т = I--j- (94)

Тогда легко будет вычислить значение функции Д [ф], где |ф] = ф(<?, *_-1) = ф(г, е, ф, Т)

В самом деле, по формуле (41) § 18 мы имеем, считая т не зависящим от г

ДФ = у, U^ ?г) + PTiST^(rtneS) + rWiSp (95)

Но если нам надо вычислить Д [ф ], то т является функцией (94) от г, поэтому в этом случае

дг ~ дг дх \ с ) ~ дг е Эх

JL Лл ЁМ\ _ _2_Гг2 ҐІЇ. _ 1 iSP^l _11Ь (j* _ 1-22Л1 = дг\ дг]~дг[г\дг с дх) J е дх[ Kdr с дх)\

— дг V дг) с дгдх с дх """ с» дх' 278

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. TI

Сравнивая это выражение с (95), получим, что

Но, по условию, функция ф удовлетворяет волновому уравнению

л 1 ааф

поэтому мы находим, что

a [«pi = _ г_ ду _ г_ а*ф 2_ э®<р

г er2 St er дг Зг с2г 5т3

Заметим теперь легко устанавливаемые формулы

І-— И '— — Г^Ф] __ д'ф 1 Заф г2 ' г» • аг [arj ~ аг дг с з-с2

Тогда предыдущее равенство можно записать, воспользовавшись еще формулой (2) § 17 в виде

argi

г с дх г* er дг \_дх\

= -I Jfe-^ [If])=(Мй)

Применим теперь формулу Гаусса-Остроградского к объему F,, получаемому из объема К путем выкидывания шара малого радиуса в с центром в точке P и ограниченного сферой 2. Тогда получим

s s

На сфере 2 будет г = е, поэтому при 8 —> 0 подынтегральная функпия

j

последнего интеграла будет порядка —, вся же площадь сферы 2 равна 4яе2; нетрудно отсюда заключить, что

iini§[g]c,,s<;'= о

Поэтому

^AIlW _ -ІОДЙ]«^* — (97)

vs s

Собирая формулы (91), (93) и (97), мы и докажем формулу (90). В качестве примера применения этой формулы примем за S сферу радиуса R = et с центром в точке Р. Тогда значения запаздывающих потенциалов придется брать в момент I — Rjc = t — 4=0, т. е. в на- 5 2< ПЕРЕМЕННЫй ПОЛЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed