Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ЭН _ 4яа ЭЕ . і дШ rot at ~ е at с at*
. .В, 1 . ЭН 1 9 rot H rot rot E —--rot ^r —---з-—
с dt с Ot
воспользовавшись еще тем, что
rot rot E = grad div E — ДЕ = — ДЕ
лолучим окончательно для E следующее уравнение:
. Tj. inadE . і ЯЧЕ ,., е%
= In +SdF (116)
Такое же самое уравнение получается и для Н. Уравнение типа (116) называется телеграфным уравнением.
Если токи отсутствуют (о = 0), то оно вырождается в волновое уравнение
ДЕ = ш W
со скоростью распространения с; по электромагнитной теории света с есть скорость распространения света.
Если в (116) моткно пренебречь вторым членом, т. е. токами смещения, то получится уравнение типа уравнения теплопроводности
Наконец, в случае стационарных процессов, получается уравнение Лапласа
ДЕ = О (119)
Рассмотрение вопроса об энергии электромагнитного поля приводит к введению важного вектора
э =AExH (120)
который называется векторам Пойнтинга и дает по величине и направлению поток энергии. Чтобы это показать, вспомним, прежде всего, что энергия электрического поля определяется интегралом
u **
OO
Точко так же энергия магнитного поля определяется выражением
ш\НЧУ 5 2< ПЕРЕМЕННЫй ПОЛЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
283
Вычислим теперь изменение полной энергии электромагнитного поля, заключенной в объеме V, ограниченном поверхностью S. Мы имеем
W = S^ (-Ea + H*) dV
V (121;
iW _ 1 [ fp <ЭЕ <?ні
Применим теперь уравнения (112) и (ИЗ):
J = і-Ье.гоіН- H-rot е} dV- dV (122)
v v
Так как
div (ExH) = H-rot E — E-rot H
то
^{E-rot Н — H- rotEiydV= — ^div (ExH) dV^
v v
div э dV = — QanCLS V s
(123)
Уравнение (122) принимает поэтому вид
^ = (124)
S V
Но интеграл
^atfdV
V
представляет собою джоулево тепло, т. е. то количество электрической энергии, которое в объеме V переходит в тепловую энергию. Ясно, что
<|) dS
S
дает то количество энергии, которое уходит через поверхность S. Правда, это рассуждение относится только к замкнутой поверхности S, но, обобщая его и на случай незамкнутой поверхности S, можно сказать, что распространение электромагнитной энергии определяется вектором (120), т. е. что электромагнигная энергия распространяется в направлении, перпендикулярном как к электрической, так в к магнитной силе, причем через каждую площадку проходит количество энергии, которое, будучи отнесено к единице времени, равно потоку вектора Пойнтинга через эту площадку. Г Л A B A III АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
§ 22. Понятие афияного ортогонального тензора.
Примеры тензоров
1. Многие задачи геометрии, механики и физики приводят к понятию тензора, которое имеет более сложный характер, нежели понятие вектора, и является некоторым его обобщением.
Однако в то время как для каждого вектора мы имеем простую геометрическую интерпретацию в виде направленного отрезка, для тензоров подобного простого наглядного представления мы не имеем. Представляется поэтому необходимым дать новое определение вектора, путем естественного обобщения которого можно охватить и более сложный случай тензора.
Допустим, что мы имеем прямолинейную прямоугольную систему координат Oxyz (в общей теории тензоров рассматривают любые криволинейные координаты, но мы раз навсегда условимся, что будем употреблять в этой главе только прямолинейные прямоугольные системы координат). Проекции некоторого вектора а на оси этой системы координат обозначим, как обычно, черев ах, Oyt az, так что
а = \ах +¦ ja„ + каг (1)
Возьмем теперь другую систему координат Ox'y'z', тогда проекции того же самого вектора а на новые оси координат будут, согласно § 4, выражаться формулами
&Х- = ах cos (х, х') 4- Oy cos (у, х') + аг cos (z, х')
Ov- = ах cos (х, у') + Ov cos (у, у') -f a, cos (z, у') (2)
аг- — ах cos (х, z') +¦ Ov cos (у, z') -I- аг cos (z, z')
При этом совершенно очевидно, что, если, наоборот, рассмотреть два вектора, из которых один определен в системе координат Oxyz и имеет проекции CLx, Oy, az, а другой определен в системе координат Ox'y'z' и имеет проекции Ox', Ov', а/, связанные с Ox, ау, аг линейными соотношениями (2), то эти два вектора являются совершенно тождественными. Поэтому мы можем дать следующее новое определение вектора, совершенно эквивалентное прежнему определению.
Если для каждой прямолинейной прямоугольной системы координат Oxyz ми имеем совокупность трех величин ах, Ov, аг, преобразующихся по $ 22 понятие афиниого ортогонального tbhsopa 285
¦формулам (2) в величины ах», Ov-, аг-, отвечающие другой системе координат Ox'y'z', то совокупность этих трех величин определяет новую величину а, называемую афинным ортогональным вектором.
Величины ах, Oy, аг называются составляющими этого вектора а по осям Ох, Oy, Oz.
В § 4, п. 1 мы уже упоминали о необходимости введения такого нового определевия вектора и мы фактически его использовали при установлении понятвй grad ф (§ 12, п. 1) и rot а (§ 16).
2. Обобщая данное выше определение вектора, введем понятие тензора.
