Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
4. Вернемся к общему определению тензора. Пусть тензор П опре делен тремя векторами рх, р„ я рг и пусть разложения этих векторов по ортам суть
Px = Pk =
P2 =
Z + jPxv + bp XZ
Pvjc + JPm + kpV2 (!)
Pzx + JPzv + кРгг
. Очевидно, что тензор П может быть также определен 9 числами, которые называются компонентами тензора а записываются* таблицей:
IPxx Pxv Рхг
Pvx Pyy Pvi (81
Pzx Pzv Pzz.
Такие таблицы называются еще иногда матрицами.
Условимся, для сокращения письма, переименовать координаты х, у, z в аа., за, Xi, орты i, j, к, в ii, із, із; тогда для вектора а мы будем иметь разложение по ортам
а = паї + iaaa 4- ізаз (9)
Вместо P*, pv, рг теперь надо писать pi, рг, ps; тогда будем иметь
П = iipi + ispa + isps (Ю)
Наконец компоненты тензора надо обозначать через pKi Cc = 1. 2. 3: і = 1, 2, 3) так что будем иметь
-I
Pll рі2 РІЗ к
раї Даг pzs I (11)
рзі pss pss J 288
афинные ортогональные тензоры
Гл. III
Так например, ряя есть третий компонент вектора ра. В старых обозначениях это будет руг, т. е. г-я составляющая вектора Pb.
Иногда удобно тензор П, заданный таблицей девяти чисел (11), обозначать через (/>*!}- Аналогично вектор а можно обозначать через {а*}.
5. В § 4 мы рассмотрели вопрос о преобразовании компонентов вектора при переходе от одной координатной системы к другой; поставам
тот же вопрос для компонентов тензора.
Напомним таблицу § 4, дающую косинусы углов, составляемых осями двух координатных систем OxiXsXs и Ojci'Xz'Xt'.
Мы напишем эту таблицу в несколько другом виде (приведенном здесь слева), более удобном для сокращенного писания формул, так что ац = соя (х/, х%).
Проекции вектора а на оси координат sei', ®а', хз' обозначим для краткости через ai', as', as'- Точно так же обозначим через pi', рг', ря' составляющие тензора П по осям и', Xi , хз' ¦я через рт' компоненты тензора П для системы координат Oxi' х% хз', •т. е. величины рХ/!- .
В новых обозначениях формулы (2) можно записать в следующем компактном виде:
3
а„' = 2 <**!flt (* = і. 2. 3) (12)
i=i
Точно так же формулы (3) запишутся в аналогичном виде
4
P*' = 2 aKp' (* = 1, 2, 3) (13)
1—1
Выясним теперь, как преобразуются компоненты тензора pki, т. е. найдем выражение величины pki' через девять величин р„ О1. * = 1» 2, 3). Во время вывода, для ясности, будем пользоваться полными обозначениями компонентов тензора. По самому определению ркі — Pxifxf есть проекция на ось xv вектора рХк.. Но по формуле (13)
X
Pxk' — 2 aHrPxr
г—I
Беря проекции от обеих частей этого равенства на ось ц', получим в силу -того, что проекция вектора рЖр на ось Xi', по общей формуле (12), равна
3
2 auPxrxs
S=I
,следующее равенство :
з з
P*k'xf =22 <*-kr<*-l>PXrx,
Si
х\ aIl «12 aIS
X 2 <»21 <Х82 «S3
X g «Si а»2 ®33 $ 22 понятие афиниого ортогонального tbhsopa
289
Возвращаясь к кратким обозначениям, получаем следующие основные формулы преобразования компонентов тензора прв переходе от одной координатной системы к другой
з з
PkV= S S «*r«i,Pr. (к, і = 1,2, 3) (14)
г— 1 Js]
Таким образом, новые компоненты тензора являются линейными комбинациями старых. Полученные формулы можно рассматривать как обобщение формул (2) для векторов. В соответствии с этим мы можем дать следующее второе определение понятия тензора.
Если для каждой прямолинейной прямоугольной системы координат X] X2 Xs мы имеем совокупность девяти величин ры, расположенных в виде матрицы (11) и преобразующихся в величины PiiI , отвечающие другой системе координат Oxz'x2'x3' по формулам (14), то совокупность втах девяти величин определяет новую величину П, называемую афинным ортогональным тензором второго ранга в пространстве трех измерений.
Величины pki называются компонентами тензора П. Эквивалентность нового определения тензора со старым совершенно ясна.
Мы только что получили формулы (14), являющиеся основными для нового определения тензора из формул (13), являющихся основными для старого определения.
Производя вычисления в обратном порядке, мы, очевидно, из формул (14) можем получить формулы (13), что и доказывает наше утверждение об эквивалентности обоих определений тензора.
Совершенно аналогично можно было бы определить тензоры третьего, четвертого и т. д. рангов и притом в пространстве любого числа изме-
Если мы в формулу (10) внесем выражения (7) для векторов pi, рг, рз, то мы получим так называемую девятичленную форму тензора:
» а
П = (15)
jr=i i=i
Конечно, пока для нас формулы (10), (11) и (15) являются только тремя различными формами записи одного и того же тензора.
6. Рассмотрим еще несколько примеров тензоров.
Покажем, что если для любой системы координат принять
Рч = Pm = Раз = 1, PkI = 0 {кфі) то получится тензор
1=010) (16)
который называется единичным тензором. 19 н. Е. Кочин 290
афинные ортогональные тензоры
Гл. III
В самом деле, применяя формулы (14), мы находим для рнГ величины
