Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 102

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 144 >> Следующая


3

Cr' = 2 bHCl (г = 1, 2. 3)

1=1

Далее из формулы (2) находим

з

Ck = 2 акгСг' (4=1,2,3)

i1=i

Следовательно

Э 3

Ckm = 2 S aHrbrlCl (t= I1 2, 3)

ii=i 1=1

С другой стороны, из (3) видим, что

С к = 2 PwcI (fr-1,2,3)

I=I

20* 308

афинные ортогональные тензоры

Гл. III

Сравнивая эти выражения с предыдущими, находим, что надо принять

Pia

2 a*Ai (ft, 1 = 1, 2,3)

(5)

Итак, скалярным произведением AB (для краткости мы будем говорить просто о произведении} двух тензоров АиВ с компонентами акі и Ьщ называется тензор П, составляющие которого определяются формулами (5).

Полученные выражения для элементов тензора AB совпадают с теми выражениями, которые приходится рассматривать при перемножении определителей. Рассматривая тензор А, мы можем составить определитель из элементов этого тензора, который мы будем обозначать символом D (А):

an au aia

D (А) & азі аа ai»

азі аза ass

Точно так же образуем определитель тензора В:

би Ь18 біз D (В) = баї 6га баз Ьзі Ьзя Ьзз

Если мы будем умножать определитель D (А) на определитель D (В) по обычному правилу, но только непременно умножая строки определителя/) (А) на столбцы определителя D(B), то, как легко убедиться, для элементов определителя D (A) D (В) получим как рэз выражение (5), т. е. мы получим, что

рч ріг ¦ різ

D (A)D (В) = раї Р22 pa =D (П) (6)

рг і рг а р»з

Итак, определитель произведения двух тензоров равен произведению определителей этих тензоров.

Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из данного нами определения произведения двух тензоров

Прежде всего из формул (5) очевидна дистрибутивность произведения, выражающаяся формулами

(А, -1- А2)-В = Aj.B + As.В

(?)

A.(B1 4- B2) =A-B1 +A-B2 Далее, возьмем за тензоры АиВ две днады

А = pq, В = rs (8)

в результате, как легко вычислить, полу-

и составим их произведение чится

(pq).(rs) = (q-r) ps

(9) §25

произведении тензоров

309

На самом деле, впрочем, нет нужды производить какое-либо вычисление. В самом деле, применим к тензорам (8) рассуждение начала этого параграфа. Выберем какой-либо вектор с, тогда

с' = В-с = (rs)-c = г (s-c)

Преобразуем теперь этот вектор при помощи тензора А: с* = А-с' = (pq)-c' — р (q-c') = р (q-r) (s-c)

Ясно, что если мы положим

П = (q-r) ps

то окажется по правилу умножения дивды иа вектор

(П.с) — с"

Отсюда следует, что П = AB, т. е. следует равенство (9). Итак: чтобы перемножить две диады, нужно скалярно помножить второй вектор первой диады на первый вектор второй диады и получение,* число взять коэффициентом при диаде, первым вектором которой служит первый вектор первой SuaSt!, а вторым вектором я/порой вектор второй диады.

В силу формул дистрибутивности (7) и в более общем случае произведения суммы нескольких диад на другую сумму нескольких диад будет иметь место формальное правило: последние векторы диад первого множителя нужно скалярно умножить на первые векторы диад второго множителя, например,

з з ээ

Spa-2™-2 Sfo4Tl)РЛ <м»

«•=1 1=1 Jr=I I = 1

Если А есть тензор с компонентами akl, то, вводя векторы

a, = aui, -t- </12іг + al3i3

as = aSih + dS2i2 +

as — a31i, + Oa2i2 + O33I3 мы можем, согласно § 23, написать

A = i,a, + i2a2 + iaa3

Точно так же, если В есть тензор с компонентами bkt и

b, = ^11I1 + 621ig + 631ia ЬЇ = i>12i, + Ьг 2i2 + і»ь2і3

bs = 6,3ij -+- биі8 -+- b33і3

то можно написать

В = btij + bji2 + Ьзц

Производя теперь перемножение тензоров А и В по правилу (10), мы получим, очевидно, что

з 3

П = AB =2 S(a*-bi) Ui1

H=I 1=1 афинные ортогональные тензоры

Гл. ПІ

Отсюда видно, что компонентами тензора П являются Pm = а*«Ь = акAi +- акфы + акф3, (к, і = 1,2, 3)

Эти выражения совпадают, как и должпо быть, с выражениями (5).

2. Тот факт, что произведение двух тензоров, которое мы только что определило, опять оказывается тензором, является очень важным.

В самом деле мы можем складывать и перемножать тензоры, и в результате этих действий опять получаются тензоры. Это дает нам возможность еще одной точки зрения ва тензоры; именно, мы можем рассматривать последние, как особого рода гиперкомплексные числа, образующие замкнутый класс чисел, из которого мы не выходим, если Производим над ними действия сложения к умножения.

Однако алгебра тензоров обладает, рассматриваемая с этой точки зрения, некоторыми особенностями, которые мы сейчас и отметим.

Мы уже отметили в предыдущем пункте свойство дистрибутивности произведения двух тензоров, выражающееся формулами (7).

Далее совершенно очевидным представляется свойство ассоциативности по отношению к. скалярному множителю т.:

а также и свойство ассоциативности произведения трех тензоров;

доказательство которого предоставляется читателю.

Остановимся теперь на других свойствах, которые отличают алгебру тензоров от обычной алгебры.

Прежде всего необходимо резко подчеркнуть некоммутативно С T ь произведения двух тензоров. Вообще говоря, произведение двухтевзороз AB отличается от произведения ВА. Например, если взять за А диаду I1I2, а за В диаду і2і,, то окажется, что AB = i3i,, a BA = і2і2. Следонательно, в произведении нескольких тензоров важно отмечать порядок сомножителей, которые нельзя переставлять между собою.
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed