Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть положение точки M тела относительно точки О определяется радиус-вектором г, тогда скорость точки M будет равна (§ 9, п. 8)
V=WXr (15)
Если взять бесконечно малый элемент массы dm, окружающий точку М, то количеством движения ( О' этого элемента массы будет
V dm =toxr dm Фиг. 89
Моментом количества движения этого элемента массы относительно точки О будет по определению
гх V dm = гх (юX г) dm Сумма всех этих моментов количеств движений и называется моментом количества движения твердого тела; обозначая его буквой 1, имеем
] = ^гх(«»х г) dm (Дв)
где интеграл распространен по всем элементам массы твердого тела. В силу формулы
гX («Xг) - W2 — Г (r.ffl) = tu (X12 + Xi* + Xs) — г (X1CO1 -)- XaCOa + X3COj
легко получим, что
11 = Co1 ^ (х22 + Xa') сim — ша ^ X1X3^m — cos ^ x^x3dm
12 = — ®i ^ хіхі dm + «а ^ (X * 4- X12) dm — <и2 ^ х2х3 dm (17)
Is = — Co1 ^ xsxi dm — <в2 ^ X3Xa dm 4 cos ^ (хл* -)- xaa) dm
Мы видим, что вектор момента количества движения является линейной векторной функцией вектора угловой скорости. Но тогда по преды* дущей теореме коэффициенты в (17) образуют тензор, который называется тензором моментов инерции; мы его обозначим через
Jll Jl3 А»
J г і J32 J3S
Jzi j SS
J = { Jn Jn J3s } (18)
где
Jiі = ^ (xas 4- Xs2) dm есть момент инерции тела относительно оси Ox1, а
J12= — ^ X1Xa dm зсо
афинные ортогональный тензоры
Гл. Ш
есть взятый с обратным знаком центробежный момент инерции или момент девиации относительно осей Z1 и Zs. Остальные компоненты тензора моментов инерции имеют аналогичное значение.
Формулы (17) могут быть теперь записаны в весьма простом виде
1 -J-CD
или в составляющих
h = -AifflI + Jitcai + J 13®3 (19)
It — JtlOl + Jii Og 4" VasCD8 (20)
l»~JS1Gl1 + J3a(us -+- JJ3Cfl8
Отметим, что тензор моментов инерции, очевидно, симметричен, В качестве второго примера рассмотрим поле вектора а (г) = = a (X1, х3, xs). Дадим радиусу-вектору г бесконечно малое прираще* ние dr и рассмотрим соответствующее приращение daі вектора а. Для проекций этого вектора da мы будем иметь формулы
dat ^ 9^dxl+ ^dxi+^dxt
дх-.
^3=?:^1+?dx*+йdx*
(21)
На основании теоремы предыдущего пункта мы можем заключить, что коэффициенты линейных соотношений (21) образуют тензор, который естественно назвать тензором, производным от вектора а по вектору г, и обозначить через
da
dr'
дах даі dd\
дх\ dig dxs
доз доз доз
дхх «tea дхз
дая дая дав
дх\ дха дх%
(22)
Этот тензор имеет очень важное значение, потому что из него можно получить все основные дифференциальные операции, рассмотренные в в главе II. Формулы (21) можно теперь записать в очень простом виде:
(23)
da =
di
вполне оправдывающем обозначение производного тензора.
Введем еще в рассмотрение тензор, сопряженный с (22). По причинам, которые сейчас выяснятся, его очень удобно обозначить через
grad а = Vа —
да\ 5о2
дії дхі
дах Sat
dxt дхг дх,.
дах да% das
дхг дхг дха
даз дхі даг
(24) 124 умножение тензора на вектор
298
da
Так как = (Vа)« то в сипу формулы (H) будем иметь на основании (23)
da = «fr-grada = dt- V» (25)
Полученная формула вполне аналогична формуле diр = cur«grad ф = dt- V<p
Более того, если Vа рассматривать как символическую диаду, в которой первым вектором служит символический вектор Vi а вторым вектором служит а, в если применить формальное правило скалярного умножения вектора на диаду, то мы получим из (25)
d» = (afr. V)a = (cir.grad) a (26)
Ho эта формула есть как раз формула (9) § 13. Заменяя в формулах (25) и (26) dr на какой-либо вектор v, мы придем к формуле
v-va = (V-V) а (27)
так что градиент вектора а по вектору v есть скалярное произведение вектора V на тензор Va, сопряженный с тензором, производным от вектора а по вектору г.
Конечно, формулу (27) можно еще переписать в силу формулы (11) и того, что
? = 0?а)с
в виде
(V. V)a - J-V (28)
Отметим совершенно очевидную формулу
dr
dr
= I (29)
Наконец, разложим производный тензор d&/dr на симметричную и антисимметричную части. Симметричный тензор есть
I day 1 ґдаї да2\ 1 Zfla1 Э<га'
і Sr1 2 \дяь ЗX J 2 Ws дхь
!Ox1 Z \ах.л OX-J і \oxs
WSa2 ЗаД Sa1 І/За, SajN. ,
2 Voxi ^teJ дхг Z \дх31" dxj J
1 Zda3 , aai) (да, , да-л да» I
і 2 Voxj + dxj 2 \дхг + dxj дхз )
(30)
и в том случае, когда вектор а (г) представляет вектор смещения частиц упругого тела, называется деформационным тен зором. Антисимметричная же часть производного тензора есть
IO — (Оз COa 1
<0* о - а* \ (31)
— coa сої Oj 302
афинные ортогональные тензоры
Гл. III
где, как легко вычислить, вектор ю равен
ш = rot а (32)
Отсюда легко заключить, что тензор симметричен только в том случае, когда а есть потенциальный вектор а = grad <р. В этом случае-очевидно:
I дх? дХі дхг дхі дха j
rfgrad <р ) _д\_ I
dl -VVV-^dxidxi dxf. \ ^l3'
1Э3<р &<3j д\ I
дх-i dxt Sar2 дх» дхз1 J
