Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
„ * __ Pi X Р» п * = P3 X PI п * = P1 х р» /251
Pl ~~ PWP2 X р3> ' ^2 PHp1 X ps) • Vs pi-(p2 X(U) к '
Составим тенаор
А = pi*ii 4- p2*i2 4 ра*і
з
Образуем теперь по формуле (10) произведение ПА; пользуясь формулами (19) § 8, увидим, что
ПА = I1I1 -Ь I2I4 4 іаї3 = I
Это равенство в силу (22) показывает, что А = П"1. Итак
П" = p1* I1 4 P2* U 4 p3*i3 (26)
На основании этой формулы легко выразить составляющие тензора П-1 через составляющие тензора П. Но мы поступим иначе. Формула (19), написанная в составляющих, имеет вид
xi = PxixI + Pux* 4 Pi3X3
ХІ = P21X1 4 P22X2 4 Pi3X3 (27)
X3 = PnXl 4 PaixI 4 PaaX3 314
афинные ортогональные тензоры
гл. га
Решая эту систему уравнении относительно аа, ха, Xa но обычному правилу Крамера, легко найдем, что
од =
+ + PaiXt'
i>< П)
_ PtaX1' -I- P-gX-t + PasX3'
3:2--UTTTj--
_ Pi3Xl- + PjjlX./ + PsgXs'
Xs ~~ Dtm
(28)
где Pki суть алгебраические дополнения элементов pkj в определителе
Д(П) =
Pll PlZ PIS PiX Pit Pi3 Pai Pa і Раз
т. е. мнноры элементов pki, умноженные на (— 1)*+-'. Например
Paa Ргs Pat P за
Ps, = -
P la Pi з Pa а Рга
Формулы (28) суть не что иное, как формула (20), написанная в составляющих; поэтому мы получаем следующие формулы для элементов тензора П"1;
^«-¦тт (29)
4. Выше было указано, что тензоры можно рассматривать как особого рода числа. Покажем сейчас, что обыкновенные комплексные числа можно трактовать как тензоры частного вида в пространстве двух измерений. Рассмотрим следующее преобразование пространства
X1' = р (xj cos(p + хг sin (р), X2' = р (— X1 sin (р + X2 cosip) (30)
где р > 0 и <р — два вещественных числа. Это преобразование состоит, очевидно, в повороте па угол ф около начала координат и последующем равномерном расширении или сжатии во все стороны. Преобразование (30) можно записать в виде
г' = Пг
где
Л __ ( P cos Ф р sin ф \— P sin ф P COS (р
По правилу сложения тензоров мы можем написать
(31)
П = р cos <р 11 ° I + p sin <p ( ^ H = p cos <pl + p sin <pJ (0 1 I {—1 OJ
где через J обозначен тензор
(32)
(33) произведение тензоров
315
соответствующий, очевидно, повороту плоскости па угол 90° ті напраале-СІ оставим теперь J2; простое вычисление по форму-
вав от оси X2 к X1. лам (5) дает, что
"-г: J}—
что впрочем ясно и так, ибо J2 соответствует, очевидно, повороту плоскости на 180° около начала координат.
Мы видим, что тензор J подчиняется тем же правилам веремножения, что и комплексная единица і. Можно поэтому отождесівить J с комплексной единицей і и вместо (32) написать
П = р cos (р + і р sin (р (34)
Таким образом, тензоры вида (31) можно рассматривать, как обычные комплексные числа.
В качестве весьма простого применения, положим в формулах (31) в (34) р = 1; тогда получим тензор поворота около начала координат на угол ф. Ясно, что тензор П" означает в этом случае операцию поворота на угол гщ>. Поэтому мы приходим к известной формуле Моавра (cos ф 4- і sin ф)" = cos nq> 4 і sin п ip
5. В предыдущем пункте был рассмотрен вопрос о тензоре поворота в плоскости. Теперь мы рассмотрим вопрос о повороте твердого тела в пространстве около веподвижвой ТОЧКИ О.
Проведем в твердом теле оси координат JC1, ха и пусть после поворота эти оси соппалв с осями координат X1', X^', Xi'.
Положение осей X1', X2', ха' относительно осей X1, X2, X3 характеризуется таблицей косинусов а,,і § 22. Однако весьма часто для определения этого положения пользуются другими величинами. В механике обычно употребляют так называемые углы Эйлера ф, ф, 6 (фиг. 90). Зд^сь О есть угол между осями x3 и x3', <р — угол между осью x1 и линией узлов ON (так называется линия пересечения плоскостей Ox1X2 и Ox1^2'), отсчитываемый от оси x1 в направлении к оси х2, и ф — угол между лннией узлов ON и осью x1', отсчитываемый от линии узлов ON в положительном направлении вокруг оси х3 .
Все девять коснпусов акі могут быть выражены через три угла Эйлера. В самом деле, мы можем осуществить поворот осей Ox1X2X3 в новое положение Ox1'X2'X3 путем трех последовательных поворотов:
1) на утол ф около оси х3. при этом ось X1 перейдет в линию узлов ON;
2) на угол 0 около линии узлов ON, при этом ось х3 перейдет в х3';
3) на угол -Цэ около оси X3', при этом ось ON перейдет в ось I1'.
Фиг. 90 315
афинные ортогональные тензоры
ГЛ. Tll
В результате этих трех поворотов ось Xl перейдет в x1', ось x3 в x3', и следовательно ось x2 в x2', т. е. тело из старого положения перейдет в новое.
Но каждому из трех указанных поворотов отвечает свой тензор поворота, а именно повороту на угол (р соответствует преобразование
= x1 cos ф -f xjj sid <р
12 = — X1 sin (p + X2 cos <p
13 = x8
где ось Ogj совпадает с линией узлов ON, а ось Og3 с осью Ox3. В тензорной форме мы будем иметь
I = Фг
где ? вектор с составляющими I1, I2, ?3, а Ф тензор
Icos (р sin (р О і — sin <р cos (р О '
О OlJ
Точно так же поворотам на углы 9 и ф соответствуют преобразшіа-ния
