Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
ах 4- by 4- cz = 0
соответствует прямая
ах-\- by 4- с = 0.
Каждая точка первой прямой имеет соответствующую ей точку на второй, за исключением одной точки, а именно, той, для которой z=0. Когда (х, у, г) пробегает первую прямую таким образом, что эта точка стремится
Приложение IV
507
к специальной точке, для которой z = 0, то соответствующая точка на второй прямой меняет свое положение так, что ее расстояние от начала координат стремится к бесконечности. Это соотношение важно с исторической точки зрения, так как оио является источником нашей терминологии в данном вопросе; оно часто также оказывается полезным для иллюстративных целей. Однако оио является ие более как иллюстрацией, и никакое рациональное разъясиеиие геометрической бесконечности не может быть основано иа нем. Недостаточно ясное понимание этих вопросов, столь часто встречающееся у студентов, происходит от того, что в распространенных учебниках аналитической геометрии эта иллюстрация иногда принимается за реальность.
Читателям, заиитересоваиным в соотношениях между анализом и геометрией, можно рекомендовать следующие книги:
Д. Гильберт, Основания геометрии, ГТТИ, M.—Л., 1948.
С. W. O'Hara'and D. R. Ward, An introduction to projective geometry, Oxford, 1937;
Q. de В. Robinson, The foundations of geometry, Toronto, 1940;
0. Veblen and J. W. Young, Projective geometry, vol. 1, New York, 1910, и статью автора ,What is geometry?", Mathematical Gazette, vol. 15, 1925, стр. 309—316.
СОДЕРЖАНИЕ
(В конце содержания каждой глави мелким шрифтом приведен перечень некоторых вопросов, рассмотренных: в примерах)
От редакции...................,............... 5
Из предисловия автора к первому изданию ...... 7
Предисловие автора к седьмому изданию........ 7
Предисловие автора к девятому изданию......... 8
глава і
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
I—2 Рациональные числа........................... 9
3—7 Иррациональные числа......................... 11
8 Действительные числа.......................... 21
9 Соотношения величины между действительными числами ... 22 IO—11 Алгебраические действия над действительными числами ... 24
12 Число У2................................. 26
13—14 Квадратичные иррациональности................... 26
15 Континуум................................. 30
16 Непрерывное действительное переменное............. 33
17 Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда 33
18 Точки накопления ............................ 36
19 Теорема Вейерштрасса......................... 37
Разные примеры............................. 37
Десятичные дроби, 9. Теоргма Гаусса, 14. Графическое решение квадратных уравнений, 27. Важные неравенства, 38. Среднее арифметическое и среднее геометрическое, 39. Неравенство Кошн, 39. Кубические и другие иррациональности, 41. Алгебраические числа, 44.
глава ii
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
20 Понятие функции..............-............... 46
21 Графическое представление функций. Координаты........ 48
22 Полярные координаты.......................... 50
23 Полиномы ................................. 51
24—25 Дробно-рациональные функции.................... 54
26—27 Алгебраические функции........................ 56
28—29 Трансцендентные функции....................... 59
30 Графическое решение уравнений................... 64
31 Функции от двух переменных и их графическое представление ...................................... 65
32 Кривые на плоскости.......................... 66
33 Геометрические места в пространстве............... 67
Разные примеры ............................. 71
Тригонометрические функции, 60. Арифметические функции, 62. Цилнядры,68. Карты поверхности, линии уровня, 68. Конические поверхности, 69. Поверхности вращения, 69. Линейчатые поверхности, 70. Геометрические построения иррациональных чисел, 72. Квадратура круга, 74.
Содержание
509
ГЛАВА Hl КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
34—38 Смещения................................. 75
39—42 Комплексные числа........................... 83
43 Квадратное уравнение с действительными коэффициентами . 86
44 Диаграмма Аргана............................ 89
45 Теорема Муавра............................. 90
46 Рациональные функции комплексного переменного....... 92
47—49 Корни из комплексных чисел..................... 103
Разные примеры............................. 106
Свойства треугольника, 93, 94. Уравнения с комплексными коэффициентами, 95. Соосные окружности, 97. Дробно-лииейные и другие преобразования, 98, 101, 109. Двойные отношения, 100. Условие того, что четыре точки лежат на одной окружности, 101. Комплексно-значиые функции действительного переменного, 102. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля к линейки, 105. Мнимые точки и прямые, 107.
ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
50 Функции целочисленного положительного аргумента...... 112
