Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Но, по неравенству (5),
? ae**s? ? («а + (36) = а + 0 = 1 = (1»а (?б)3. Равенство имеет место в том и только том случае, когда ат = Ьт для всех»;, а, значит, если мы отбросим условия (11), когда ~ не зависит от т. Вообще, имеет место следующее неравенство:
S аЧ\ .. Iі<(2 а)аQ»3- • • Z)S (13)
если
а+ (3+... + X = I (14)
и последовательности (а), (6),...,(/) не пропорциональны. Это может быть выведено из (7) так же, как мы вывели (12) из (5), или же индукцией непосредственно из (12).
Неравенство M инк о вского (M)
Если k > 1 и аи а2,..., ап и bit bs,..., Ъп — две последовательности положительных чисел, то
\И(ат + bmff ^ і І Z) "'"і І *» Г (15)
Im=I J Vm=I i \m=l J
Равенство имеет место в том и только том случае, когда (а) и (Ь) пропорциональны.
Это неравенство может быть выведено из (10). Положим
S = I 2 (ат +bmfV/k=ma + bfY'k
(опуская индексы). Тогда
S* = Sa(a + *)*-i + ?6(а + bf~K
Применяя неравенство (10) к каждому члену в правой части и замечая, что (k — \)k' = k, мы получим:
s* Se(S W/A {?(« + + (2 6*)}vi Ш« + *)*}v*' =
= {(Saft)Vfe + (? 6*)1/*} S*/*',
и (15) следует отсюда делением на Sk/k'. Равенство имеет место в том и только том случае, когда (а) и (Ь) пропорциональны (а + Ь), т. е. когда (а) н (6) пропорциональны.
Имеет также место весьма полезное обратное неравенство. Допустим, что а + 6=1. Тогда а< 1, Ь<1 и, следовательно (так как k>l), ак<а, bk<b, т. е.
afe + bk<a + b = \ =(а + bf. (16)
Приложение I
Так как обе части окончательного неравенства однородны (со степенью к), то это неравенство справедливо и без того ограничения, что а+& = 1. Отсюда следует, что
2(а + Ь)Ь>?аЬ + %ЬК (17)
Равенство здесь не может иметь места, если (как мы все время предполагаем) все а н Ь строго положительны.
Разные замечания по поводу неравенств
Когда к = 2, к!-=2 и (H) сводится к
(2>6)8<1>22*2>
т. е. к неравенству Коши (стр. 39). Если мы предположим, что ? = 2 и я = 3 в (M), и возьмем в качестве (а) и (Ь) X1, yv Z1 и хг, ys, zs, то неравенство Минковского принимает вид
V (X1 + x,Y + Cy1 + yi)' + (*i + г*Т < Vх*+УІ+ 2Ї + Vxl+yi+4-
Это неравенство выражает, что длина одной стороны треугольника, вершины которого находятся в точках (0,0,0), (хиуи Z1) и (—х«, —у2, —г2), меньше суммы длин двух других сторон. Неравенство превращается в равенство, когда X1, yit Z1 пропорциональны X11, ys, z.2, т. е. когда треугольник вырождается в отрезок прямой. В общем случае (M) является обобщением ,неравенства треугольника" на пространство п измерений, в котором расстояние между двумя точками P1 и P2 определено как
( і X1-X, I* + Iy1 -у, \* + 1 Z1 - Z2 р + .. .)1''*. Неравенство (7) на стр. 39 является следствием из (H), так как
CZ а? — (Ц а - 1)* < 2 (? 1J*7*' = "ft ~12 а&-
Но неравенство (6) на стр. 39 не может быть выведено ни из одного из неравенств, приведенных здесь; оно в действительности является частным случаем неравенства другого типа, а именно, неравенства Чебышева (см. Неравенства, стр. 59).
Когда к рационально, (H) и (M) являются алгебраическими теоремами и представляется желательным, чтобы их доказательства были также алгебраическими, т. е. чтобы они не использовали никаких предельных переходов. Такие доказательства читатель найдет в гл. Il Неравенств (где рассматривается также большое число аналогов и обобщений этих теорем). Если k иррационально, то лг* не является алгебраической функцией, и тогда вопрос о чисто алгебраическом доказательстве отпадает. В настоящей книге, например, лг* было определено как ехр (AIn х), и поэтому естественно, что доказательства должны опираться на теорию логарифмической и показательной функций, и использовать методы дифференциального исчисления.
ПРИЛОЖЕНИЕ Il
Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень
Теорема о том, что „всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень", обычно называется „основной теоремой алгебры", но она по существу скорее принадлежит к анализу, так как ее нельзя доказать, не применяя где-нибудь понятия непрерывности. Представляется целесообразным привести здесь два из наиболее известных доказательств этой теоремы.
Фиг. А Фиг. В
(А) Первое из них является естественным развитием идей, изложенных в гл. III и X. Пусть
Z=f (г) = a0zn + aiz" ~l + ... + an
— многочлен относительно г с действительными или комплексными коэффициентами. Мы можем предположить, что а0^сО.
Предположим, что z описывает замкнутый путь у в плоскости г; фактически і всегда будет квадратом, стороны которого параллельны осям, пробегаемым в положительном направлении. Тогда Z описывает замкнутый путь Г в плоскости Z. Мы можем предположить, что Г на проходит через начало координат, так как в противном случае справедливость теоремы была бы очевидной.
Каждому значению Z соответствует бесконечно много значений amZ, отличающихся друг от друга на кратные 2-, и каждое из этих значений непрерывно изменяется, когда Z описывает Г11. Выберем какое-нибудь
