Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
z", + a,z»n-1 + ?» = 0,
имеющих положительную и отрицательную действительную часть, равны п — 1 и п+1 или и и и в зависимости от того, нечетно ли п или четно.
(Экз. 1891 г.)
6. Точки Z1, za, Z3 образуют треугольник в комплексной плоскости, причем внутренность треугольника лежит слева от стороны, идущей от Z1 к za. Показать, что если z движется вдоль прямой, соединяющей точки Z = Z1 н Z = Z1, от некоторой точки вблизи Z1 к некоторой точке вблизи z2, то изменение
i 1 l 1 l 1 ^
аш---г----г---
Vz-Z1 Z — Z2 Z-Z3i
почти равно х.
7. Контур, содержащий три точки Z = Z1, z=z2, z = z3, определен частями сторон треугольника, образованного Z1, zs, Z3 и внешними по отношению к треугольнику частями трех малых окружностей с центрами в этих же точках. Показать, что когда г описывает этот контур, то изменение
Vz-Z1 Z-Z2 Z-Z8 у
равно — 2 тт.
8. Показать, что любой замкнутый овал, окружающий все корни кубического уравнения /(z) = 0, окружает также н оба корня производного уравнения /'(z) = 0.
[Использовать тождество
/4^)=/(,)(^ + ^ + ^).
где Z1, z», zs—корни уравнения /(z) = 0, и результат примера 7.]
9. Показать, что корни уравнения /' (z) = 0 являются фокусами эллипса, который касается сторон треугольника (ги zt, Z3) в их серединах.
[См. Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисление бесконечно малых.]
10. Распространить результат примера 8 на уравнения любой степени. И. Если /(г) и <с(г) —два многочлена относительно z, 7—контур, не
проходящий ни через один корень /(г), и | <f (z) |< |/(z) 1 во всех точках f, то уравнения
/(Z) = O, /(Z) + ? (Z).= 0,
имеют внутри Y одно и то же число корней. 12. Показать, что уравнения
ez = az, e* = az2, ez=az',
где а > е, имеют, соответственно, одни положительный корень, один положительный н один отрицательный корень, один положительный н два комплексных корня внутри круга IzI = I.
(Экз. 1910 г.)
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
Замечание о задачах, содержащих двойной предельный переход
В гл. IX и X мы встретились с некоторыми частными случаями одной общей задачи, играющей очень важную роль в анализе. В п. 220 мы доказали, что
ln(l + x) = x-~x2 + ~-xs — где—1<х^1, путем интегрирования уравнения
в пределах от 0 до х. Мы доказали фактически следующее равенство:
X XXX
о ООО
т. е. что интеграл от суммы бесконечного ряда
1—t + fi — ...
в пределах от 0 до х равен сумме интегралов от его членов, взятых в тех же пределах. Другими словами, это означает, что операции суммирования от 0 до оо и интегрирования от 0 до х перестановочны в применении к функции (— Vftn, т. е. что порядок, в котором они производятся, ие играет роли.
Далее, в п. 223 мы доказали, что производная показательной функции
ехр X = 1 + -jjy + уу + . . .
сама равна ехрх или что
D* (1 + TT + Yi + ¦' •)= °х 1 + D* TT + D* Ti + • • •'
т. е. что производная суммы ряда равна сумме производных его членов, или что операции суммирования от О до оо и дифференцирования по х
хп
перестановочны в применении к -^j-.
Между прочим, мы в том же пункте доказали, что ехр х является непрерывной функцией от х, т. е. иначе говоря, что
Ы1+тт + 1? + ---Н+Т! + й + ---=
504
Приложение IH
или что предел суммы ряда равен сумме пределов его членов, или что сумма ряда непрерывна при лг = 5, или что операции суммирования от 0 до оо и
Xті
перехода к пределу при х—<¦? перестановочны в применении к —-.
В каждом из этих случаев мы давали специальное доказательство справедливости результата. Мы не доказали никакой общей теоремы, из которой справедливость любого из этих результатов следовала бы сразу. В примере XXXVII. 1 мы видели, что сумма конечного числа непрерывных членов сама непрерывна, а в п. 114 — что производная суммы конечного числа членов равна сумме их производных. В п. 165 мы установили соответствующую теорему для определенных интегралов. Таким образом, мы доказали, что в некоторых условиях операции, символически обозначаемые
ь
Hm Dx \ ... dx,
перестановочны с операцией суммирования конечного числа членов. Естественно предположить, что в некоторых условиях, которые можно точно сформулировать, эти операции будут перестановочны также и с операцией суммирования бесконечного числа членов. Естественно предполагать, что это будет так; но большего мы пока ничего сказать не можем.
Несколько дальнейших примеров перестановочных и неперестановочиых операций помогут нам разъяснить этот вопрос.
(1) Умножение на 2 и умножение на 3 всегда перестановочны, так как
2 X З X х = 3X 2 X X
для всех значений х.
(2) Операция образования действительной части z никогда не перестановочна с умножением на і, если z^O; в самом деле,
і X Hs(x+ly) = ix, Re { і X (X+ iy) }= — у.
(3) Операции перехода к пределу при х или у стремящихся к нулю в применении к функции f(x, у) могут быть как перестановочными, так и неперестановочными. Так,
Hm { Hm (jc+ у) }= Hm х = 0, Hm { Hm (х4-у) }= lim у = 0,
