Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
0 у-*0 х-*0 у-*0 х-*0 V-O
тогда как
Hm I Hm 1= Hm — = 1,
Hm I Hm 3^ZLl \— Hm- — — і
(4) Операции
jc+y J y^Q у
у->0 * X —*Q Л т J> ' у
2 Hm
1 х~*1
могут быть как перестановочными, так и неиерестановочиыми. Так если х-— 1 слева, то
Hm і У.-—— 1 =Hm In (14-jc) = In 2,
¦ 1 І і П ' х — 1
: In 2;
Приложение III
505
но, с другой стороны,
Hm
j S (je""1 — Xя)
:*-**) + ... }
lim 1=1,
2 I lim }= ? (1-1) = 0 + 0+...
1 1 х-*і і і
= 0.
Эти примеры показывают, что имеются три возможности в связи с перестановочностью двух данных операций, а имеиио: (1) операции могут быть всегда перестановочными, (2) оии могут никогда ие быть перестановочными, за исключением отдельных, очень частных случаев, и (3) они могут быть перестановочными в большинстве случаев, обычно встречающихся в анализе.
Действительно важным случаем (как показывают примеры, цитированные нами из гл. IX) является тот, в котором каждая операция содержит переход к пределу (как, например, операции дифференцирования или суммирования бесконечного ряда); такие операции мы будем называть предельными. Вопрос о том, являются ли две даииые предельные операции перестановочными или иет, принадлежит к числу наиболее важных в математике. Но попытка ответить иа этот вопрос в форме некоторых общих теорем вывела бы иас далеко за пределы этой книги.
Мы можем, однако, заметить, что характер ответа на поставленный общий вопрос можно предугадать из приведенных выше примеров. Если L и V— две предельные операции, то величины LVz и VLz ие будут, вообще говоря, равны друг другу, если понимать слова „вообще говоря" в строгом смысле. Мы всегда сможем подобрать такое' z, что LVz и VLz будут отличны друг от друга. Но в общем случае оии будут равны, если мы придадим словам „общий случай" более „практический" смысл и будем понимать их как означающие „в подавляющем большинстве встречающихся иа практике случаев". В математической практике результат, полученный в предположении, что две предельные операции перестановочны, рассматривается как вероятно верный; во всяком случае, ои дает ценное указание относительно характера решения рассматриваемой задачи. Но таким образом полученный результат, если ои ие следует из какой-либо общей теоремы или не подтверждается специальным исследованием данного вопроса (как мы это, например, сделали в п. 220), должен рассматриваться только как предполагаемый и ие может рассматриваться как доказанный.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Бесконечное в анализе и в геометрии
Некоторые, хотя и не все, системы аналитической геометрии содержат ,бесконечные" элементы, бесконечно удаленную прямую, круговые точки в бесконечности и т. п. Цель настоящей краткой заметки состоит в том, чтобы показать, что эти понятия никоим образом не зависят от аналитической теории пределов.
В дисциплине, которую можно назвать „обычной декартовой геометрией", точка является парой действительных чисел (х, у), прямая—классом точек, удовлетворяющих линейному соотношению ах-\- by -f- с = 0, в котором а и b не равны одновременно нулю. Здесь нет бесконечных элементов, две прямые могут не иметь нн одной общей точки.
В системе действительной однородной геометрии точка является классом троек действительных чисел (х, у, z), не равных одновременно нулю, причем две тройки относятся к одному классу, если их элементы пропорциональны. Прямая является классом точек, которые удовлетворяют линейному соотношению ах-\- by 4- cz = 0, где а, Ь, с не равны одновременно нулю. В некоторых системах каждая точка или прямая совершенно равноправна другой точке или прямой. В других системах некоторые „специальные" точки и прямые рассматриваются как каким-то образом отличные от других, и в соответствующей теории особый акцент делается на отношении этих специальных элементов к другим. Так, в дисциплине, которую можно назвать „действительной однородной декартовой геометрией", специальными являются те точки, для которых г = 0, а единственной специальной прямой является z = 0. Эта специальная прямая называется „бесконечно удаленной".
Настоящая книга не является монографией по геометрии, и здесь не место подробно останавливаться на этом вопросе. Важным является следующее обстоятельство. Бесконечное в анализе является „предельным", а не „актуальным" бесконечным. Символ „оо" рассматривался иа протяжении всей книги как „неполный символ", т. е. символ, которому не приписывается какое-либо самостоятельное значение, хотя некоторым фразам, содержащим его, приписывается определенный смысл. Но бесконечное в геометрии является актуальным, а не предельным бесконечным. „Бесконечно удаленная прямая" — это прямая точно в таком же смысле, в каком всякая другая прямая есть прямая.
Можно установить соотношение между „однородной" и „обычной" декартовой геометрией, при котором каждый элемент первой системы, за исключением специальных элементов, имеет соответствующий ему элемент во второй системе. Например, прямой
