Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
pi+p2 + ---+Pm = n>
то неравенство (1) принимает вид
qia1 + q,ail + ... + qmam>a^aV!..:a9rnm, (2)
где
так что
Oi + 1* + ¦ ¦ • + 9т = 1- (4)
Здесь неравенство также обращается в равенство, когда все а равны друг другу.
Обратно, если ' qu q»,.., qm — любые положительные рациональные числа с суммой равной 1, то мы можем привести их к общему знаменателю и записать в форме (3), и тогда (2) сведется к частному случаю неравенства (1).
Докажем теперь, что неравенство (2) имеет место (если не все а равны) для любых действительвых q с суммой, равной 1. Иначе говоря, мы отбросим условие, что q рациональны. Мы будем называть эту теорему «общей теоремой о средних" и ссылаться на нее как на теорему Gm, или просто G. Доказательство не зависит от предыдущих рассмотрений.
J) В действительности мы этого не доказали, но наши рассуждения требуют лишь небольших изменений. Эти изменения незачем приводить здесь во всех подробностях, так как (1) содержится в (2), а мы даем неза^ висимое доказательство (2).
Приложение i 493
Мы можем свести доказательство к доказательству частного случая Gs. Действительно, допустим, что да>2 и что G4 доказано для к =¦% 3, т — 1. Пусть
qt + q» + ••• + ?„ -і —Я,
так что
q + qm = h
и положим
„<—?! п, —Im^i
qi — q > •• • f4m — i— q >
так что
9і + Чз+.-. + 9'т-і = 1-
Тогда
а\ .. а*« -1 а*™= fa9*'. .. a9'm~ T a *m
і /я—t m m — t J т
^?(?1«> + ¦ • ¦ + - О + ?mam =
= <7i«i + + • • • + tfm?m,
по G8 и Gm —і. Во второй строке имеет место знак неравенства, если
а в третьей, если не все а,, а2,..., ат — j равны. Следовательно, по крайней мере в одном ме те должен стоять знак неравенства, если не все O1, as, am — i, ат равны. Следовательно, Gk имеет место для k = m, и поэтому справедливо для всех к.
Остается доказать G8. Изменяя обозначения, мы можем записать G3 в виде неравенства
a?-J<«a + (l-a)i (0<а<1) (5)
(если a^zbY Не ограничивая общности, мы можем, очевидно, предположить, что й>а. Тогда (5) может быть записано в виде
Ьх~а— в1-»<(!—в) (Ь — а)а~а. (6)
Но, по теореме о среднем значении (см. стр. 238),
Ai-»_ei-« = (l_e)(ft_a)5-«
где a<?<&, а это дает (6), так как — а<0и, следовательно, ? ~ а < а ~ а-Таким образом, G2 и общая теорема о средних доказаны.
Мы можем записать и общее неравенство Gm в форме, аналогичной (5), а именно,
а3*8... Iі < аа + ?b + ... + X/, U)
где a + /} + . .. + X = I.
У читателя может возникнуть следующий вопрос: не можем ли мы вывести общую теорему предельным переходом нз ее частного случая, в котором q рациональны? Мы можем аппроксимировать каждое q4 последовательностью рациональных чисел таким образом, что
494" Приложение I
для каждого г п что q[r^-~q., при г ~- со для каждого v. Тогда
tfV + ,«в, + ... + д%ат> afaf... (8)
для каждого г, и обе части неравенства (8) стремятся к соответствующим частям неравенства (2) при г—» со.
Это рассуждение было бы достаточным, если бы мы удовлетворились доказательством неравенства (2) в менее строгой форме, в которой знак .>" заменен иа ,?=". В самом деле, при г—-со знак „>• вырождается в „Ss": из х^г^—^х,у^—у и х^>у^ следует только, что х^у, и нельзя утверждать, что всегда х>у. Это затруднение может быть обойдено с помощью одного искусственного приема (см. Неравенства, стр. 31), но мы предпочитаем здесь более прямое доказательство.
Неравенство (6) является одним из доказанных в п. 74, с ограничением, что а рационально. Рекомендуем читателю показать, что все неравенства п. 74 справедливы для всех, а не только для рациональных, показателей. Этого, очевидно, нельзя было сделать в п. 74, так как х1 не было определено для иррациональных а до п. 214.
Существует еще одна интересная трактонка неравенства G2. Так как
-J-5 In X =--; < О,
dx* X"
то функция In X вогнута, т. е. ее график имеет всюду отрицательную кривизну, и все хорды кривой у = InX лежат под ней. Если P—точка (а,Ina), a Q — точка (b, In о), то точка /?, которая делит PQ так, что
a. PA = (I-u)RQ1
имеет абсциссу aa-f-(l—a)bn ординату а In a-f-(l—a)lnb. Следовательно,
а In а + (1 — a) In b < In {аа -f- (1 — а) Ь}, что и является неравенством (5).
Неравенство Гёльдера (H) Если ft > 1 и k' = jfZT\> так 4,110 ft' > * и
и аь а»,..., ап a bs, b«,..., Ьп — две последовательности положительных чисел, то
ІатЬт^( ІаїУ'ЧІ b<AVk\ (Ю)
т —і \т — 1 I \т = \ I
причем знак равенства имеет место в том и только том случае, когда последовательности (а) и (Ь) пропорциональны, т. е. когда °~ не зависит
"т
от т.
Это неравенство является следствием неравенства (5). Так как каждая часть неравенства (10) однородна (со степенью 1) относительно а и относительно Ь, то мы можем, не ограничивая общности, предположить, что
Sa = I, ? *= 1. (11)
Приложение I 495
Если мы, кроме того, будем писать а вместо -І и ? вместо ~, так что 0+(3= 1, и заменим а и Ь на аа и б3, то (10) превратится в
IX*3 SS(I»0 (2 б)3- О2)
