Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ueber den Slrttz run der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
Neue Begrundung der Bolgai - Lobatscheffskgschen Geometrie.
Ueber die Grundlagen der Geometrie.
Ueber Flachen von konstanter Gaussischer Krummung.
Все эти статьи соединены во втором издании юбилейного мемуара; и я должен заметить, что это второе издание заключает ряд добавлений и усовершенствований, значительно увеличивающих его-ценность. -»
Мы будем следовать в нашем анализе этому второму изданию '), сближая его с одной стороны с другими работами Гильберта, как
108
А. Пуанкаре.
например, с его мемуаром (Jeher den Zahlbcyriff и парижской речью о математических задачах будущего, а с другой стороны со многими диссертациями, написанными его учениками под его непосредственным влиянием и поэтому помогающими нам понять его мысль. Важнейшие из них:
ОєЬрг die Geometrien in denen die Geraden die kurzesten sind, — Hameln.
Die Legendre'scher Satze ueber die Winkelsumme in Dreieck— Dehn'a.
Перечень аксиом. Гильберт начинает с установления полного перечня аксиом, стараясь не позабыть ни одной; это не так легко, как можно было бы думать, и даже Евклид применяет аксиомы, им не формулированные. Геометрическая интуиция настолько привычна нам, что мы пользуемся интуитивными истинами, так сказать, сами того не замечая. Поэтому-то для того, чтобы достигнуть цели, которую себе поставил Гильберт, необходимо не оставлять интуиции ни малейшего места.
Окончателен ли перечень Гильберта? Позволительно думать, что это так, потому, что он составлен, повидимому, весьма тщательно. Ученый профессор распредедяет аксиомы в пять групп: _
I. Аксиомы der Verknupfung (предпочитаю буквальному переводу,—напр., аксиомы связи, который не мог бы быть удов іетво-рительным,—называть эти аксиомы—проективными).
II. Аксиомы der Anordnung (аксиомы порядка)
III. Аксиомы конгруэнтности или метрические аксиомы.
IV. Аксиома Евклида.
V. Аксиома Архимеда.
Между проективными аксиомами мы будем различать аксиомы плоскости и аксиомы пространства; первыми будут те, которые вытекают из весьма известного предложения: через две точки проходит прямая и только одна; но я предпочитаю перевести буквально текст Гильберта для того, чтобы дать возможность яснее понять его мысль.
„Вообразим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми н плоскостями. Вообразим, что эти точки, прямые и плоскости связаны известными отношениями, которые мы будем выражать словами лежать на. между, и т. д.".
Отчет о работах Д. Гильберта.
109
- „І і. Две различные точки А и В определяют всегда прямую а; что изобразим так:
AB = а или BA = а.
„Вместо слова определяют будем употреблять равным образом другие обороты, которые будем считать равнозначащими; будем говорить: А лежит на а, А есть точка а, а проходит через .1, а соединяет А и В, и т. д.
„I 2. Две любые точки прямой определяют эту прямую, это значит, что если АВ=а и AC= а, и если В отлична от С, то имеем также HC = а".
Вот замечания, которые необходимо сделать по поводу этой формулировки: выражения лежать на, проходить через не должны вызывать в нашем сознании какие-либо образы; эти выражения суть только синонимы слова определять. Точно также и слова точка, прямая, плоскость не должны возбуждать в уме никакого чувственного представления. Они могли бы безразлично обозначать предметы какой угодно природы, если только можно установить между этими предметами такое соответствие, при котором всякой системе двух предметов, называемых точками, соответствовал один из предметов, называемых прямыми, и только один. И вот почему необходимо прибавить (I 2), что—если прямая, соответствующая системе двух точек А и В, та же самая, которая соответствует системе двух точек В и С, то она же соответствует и системе двух точек JhC
Таким образом Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни. прямой, ни плоскости. Рассуждения должны по его мнению приводиться к чисто механическим правилам, и для того, чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам не зная, что они собственно'выража.ют. Таким образом, можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, например, в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия.
110
А. Пуанкаре.
Эта забота может казаться искусственной и детской, и бесполезно указывать, насколько бы это было гибельно в преподавании и вредно развитию ума; насколько бы оно действовало иссушающе на исследователей, у которых оно быстро убивало бы оригинальность. Но у Гильберта она объясняется и оправдывается, если мы припомним, какая цель преследуется. Полон ли список аксиом, или мы пропустили некоторые из них, которые мы, однако, бессознательно прилагаем? Вот, что нам нужно знать. Для этого у нас есть критерий, и такой критерий у нас только один. Нужно узнать есть ли геометрия логическое следствие явно выраженных аксиом, т. е. могут ли эти аксиомы, вставленные в логическую машину, заставить выйти из нее весь ряд предложений.
